Чему равен периметр правильного треугольника, если сумма радиусов его описанной и вписанной окружностей составляет

Для начала, давайте вспомним, что такое периметр. Периметр треугольника - это сумма всех его сторон.

Дано, что сумма радиусов описанной и вписанной окружностей составляет 12 корень. Описанная окружность треугольника - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Вписанная окружность - это окружность, касающаяся каждой из сторон треугольника.

Давайте обозначим радиус описанной окружности как \(R\) и радиус вписанной окружности как \(r\). Теперь у нас есть два уравнения:
\[R + r = 12 \sqrt{3} \quad (1)\]
\[R = 2r \quad (2)\]

В уравнении (2) мы использовали факт о том, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности у правильного треугольника.

Теперь давайте решим это уравнение систем методом подстановки.

Из уравнения (2) получаем, что \(R = 2r\). Подставим это значение в уравнение (1):

\[2r + r = 12 \sqrt{3}\]
\[3r = 12 \sqrt{3}\]

Теперь найдем значение \(r\):

\[r = \frac{12 \sqrt{3}}{3}\]
\[r = 4 \sqrt{3}\]

Теперь найдем значение \(R\) с помощью уравнения (2):

\[R = 2r = 2 \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}\]

Наконец, чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон. Так как у нас правильный треугольник, все его стороны равны, и мы можем умножить длину одной стороны на 3:

Периметр треугольника \(P = 3 \cdot \text{сторона}\).

Сторона треугольника равна сумме радиуса описанной окружности и радиуса вписанной окружности:

\[P = 3 \cdot (R + r) = 3 \cdot (8 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) = 36 \sqrt{3}\]

Итак, периметр правильного треугольника равен \(36 \sqrt{3}\).