Чему равен объем шестиугольной призмы, если площадь большего диагонального сечения равна площади ее основания

Для решения данной задачи, давайте взглянем на данную призму и ее свойства. Шестиугольная призма имеет шесть равных граней, которые являются правильными шестиугольниками. Для облегчения понимания, обозначим сторону основания призмы через \(a\).

По условию задачи, площадь большего диагонального сечения равна площади ее основания. Выразим это математически. Площадь основания шестиугольной призмы можно выразить через формулу:
\[ S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

Где \(a\) - сторона основания призмы.

Поскольку площади основания и диагонального сечения равны, то площадь диагонального сечения также равна \(S_{\text{диагонали}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\).

Мы знаем, что площадь диагонального сечения шестиугольной призмы вычисляется по формуле:
\[S_{\text{диагонали}} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2\]

Где \(d\) - длина диагонали сечения, расположенной внутри призмы.

По условию, площади диагонального сечения и основания призмы равны. Поэтому можем записать:
\[\frac{\sqrt{3}}{4} d^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\]

Для нахождения объема призмы, нам также потребуется найти высоту этой призмы (\(h\)). Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами основания призмы и высотой этой призмы. В этом треугольнике, высота является биссектрисой, и делит основание на две равные части. Поэтому, сторона треугольника равна \(\frac{a}{2}\).

Применим теорему Пифагора к рассматриваемому треугольнику:
\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
после простых вычислений:
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{3}{4}a^2\]
\[h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]

Теперь, для вычисления объема шестиугольной призмы, мы можем использовать формулу:
\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times h\]

Подставляя значения, получим:
\[V_{\text{призмы}} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)\]
\[V_{\text{призмы}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}a^3\]

Итак, объем шестиугольной призмы равен \(\frac{9\sqrt{3}}{4}a^3\).