Чему равен объем шестиугольной призмы, если площадь большего диагонального сечения равна площади ее основания

Для решения данной задачи, давайте взглянем на данную призму и ее свойства. Шестиугольная призма имеет шесть равных граней, которые являются правильными шестиугольниками. Для облегчения понимания, обозначим сторону основания призмы через $a$.

По условию задачи, площадь большего диагонального сечения равна площади ее основания. Выразим это математически. Площадь основания шестиугольной призмы можно выразить через формулу:
$$S_{\text{основания}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$

Где $a$ - сторона основания призмы.

Поскольку площади основания и диагонального сечения равны, то площадь диагонального сечения также равна $S_{\text{диагонали}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$.

Мы знаем, что площадь диагонального сечения шестиугольной призмы вычисляется по формуле:
$$S_{\text{диагонали}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{d}^2$$

Где $d$ - длина диагонали сечения, расположенной внутри призмы.

По условию, площади диагонального сечения и основания призмы равны. Поэтому можем записать:
$$\frac{\sqrt{3}}{4}{d}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$

Для нахождения объема призмы, нам также потребуется найти высоту этой призмы ($h$). Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами основания призмы и высотой этой призмы. В этом треугольнике, высота является биссектрисой, и делит основание на две равные части. Поэтому, сторона треугольника равна $\frac{a}{2}$.

Применим теорему Пифагора к рассматриваемому треугольнику:
$$h^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$
после простых вычислений:
$$h^2=a^2-\frac{a^2}{4}$$
$$h^2=\frac{3}{4}{a}^2$$
$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Теперь, для вычисления объема шестиугольной призмы, мы можем использовать формулу:
$$V_{\text{призмы}}=S_{\text{основания}}\times h$$

Подставляя значения, получим:
$$V_{\text{призмы}}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\right)\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$$
$$V_{\text{призмы}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^3$$

Итак, объем шестиугольной призмы равен $\frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^3$.