Билет для проведения регионального публи Билет №1 1) Сформулируйте определения многоугольника, вершин, сторон

1) Многоугольник - это фигура, состоящая из трех или более прямых отрезков, называемых сторонами. Вершины - это конечные точки сторон, где они соединяются друг с другом. Диагонали - это прямые линии, соединяющие вершины многоугольника, но не являющиеся его сторонами. Периметр многоугольника - это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника: \((n-2) \cdot 180^\circ\), где \(n\) - количество сторон многоугольника.

2) Теорема о средней линии треугольника гласит, что сумма длин двух средних линий треугольника равна половине длины третьей средней линии. Можно доказать эту теорему следующим образом: рассмотрим треугольник ABC и его среднюю линию DE, где D находится на AB, а E - на AC. Проведем фигуру FGH, где F - середина BC, G - середина AC, H - середина DE. Последовательно докажем, что G - середина DE, а F - середина DE. Из определения середины отрезка следует, что GF || BC и FG = \(\frac{1}{2}\) BC. Аналогично, GHC || DE и GH = \(\frac{1}{2}\) DE. Так как FGH - прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора имеем FG^2 + GH^2 = FH^2. Подставив значения FG и GH, получим \(\frac{1}{4}\) BC^2 + \(\frac{1}{4}\) DE^2 = FH^2. По свойству многоугольника можем записать следующее: BC^2 + DE^2 = 4FH^2 + 4FH^2. Тогда BC^2 + DE^2 = 4(FH^2 + FH^2) = 8FH^2. Из равенства FH = \(\frac{1}{2}\) DE следует DE = 2FH. Если поместить обе средние линии треугольника на отрезок DE, получим DE = 2FH + 2FH = 4FH. Отсюда следует, что DE = 4FH. Значит, сумма длин средних линий (DE и DE) равна половине длины третьей средней линии.

3) Рассмотрим треугольник ABD. Из условия задачи известно, что BD = 1 см, радиус окружности OB = 5 см. Поскольку OB перпендикулярна хорде AC, они образуют прямоугольный треугольник OBD. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: OB^2 = BD^2 + OD^2. Подставляя известные значения, получаем: 5^2 = 1^2 + OD^2. После упрощений получаем уравнение 25 = 1 + OD^2. Отсюда следует, что OD^2 = 24. Заметим, что AD = BD + BA = BD + OB = 1 + 5 = 6 см. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника DAO: DA^2 = OD^2 + AD^2. Подставляем значения и получаем: DA^2 = 24 + 6^2 = 24 + 36 = 60. Таким образом, DA = \(\sqrt{60}\) см. Исходя из того, что хорда AC расположена внутри окружности, ее длина равна двойному произведению радиуса и синуса угла, образованного хордой: AC = 2 \cdot OB \cdot \sin(\angle AOC), где \angle AOC - угол, образованный хордой AC. Мы знаем, что OB = 5 см, поэтому, чтобы найти длину хорды, нам нужно найти синус угла \angle AOC. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника DAO: DA^2 = DO^2 + AO^2 - 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\angle AOD). В данном случае треугольник DAO прямоугольный, поэтому \angle AOD = 90^\circ, и \cos(\angle AOD) = 0. Подставляем значения и получаем: 60 = 24 + AO^2, откуда AO^2 = 36. Таким образом, AO = 6 см. Теперь мы можем найти синус угла \angle AOC, который равен \frac{AO}{OB} = \frac{6}{5}. Подставляем значения в формулу длины хорды: AC = 2 \cdot 5 \cdot \frac{6}{5} = \boxed{12} см.

4) Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b, а длина его диагонали равна c. По определению прямоугольника, периметр равен сумме длин всех его сторон: P = 2a + 2b. Также известно, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем: c^2 = a^2 + b^2. Мы знаем, что P = 56 и c = 20. Подставляем известные значения в уравнения и получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a + 2b = 56 \\ a^2 + b^2 = 20^2 \end{cases}\]

Рассмотрим первое уравнение: 2a + 2b = 56. Разделим оба части уравнения на 2, получим a + b = 28. Теперь мы можем избавиться от переменной b, выразив ее через a во втором уравнении: b = 28 - a. Подставляем это значение во второе уравнение и получаем:

\[a^2 + (28 - a)^2 = 20^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400\]

Собираем все члены уравнения и упрощаем:

\[2a^2 - 56a + 384 = 0\]

Поделим каждый коэффициент на 2:

\[a^2 - 28a + 192 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \[a^2 - 28a + 192 = 0\], поэтому a = 1, 27. Если a = 1, то b = 28 - 1 = 27. Если a = 27, то b = 28 - 27 = 1. Значит, у нас есть два возможных значения для a и b: a = 1, b = 27 или a = 27, b = 1. Тогда площадь прямоугольника может быть найдена по формуле: S = a \cdot b. Подставляем значения и получаем S = 1 \cdot 27 = \boxed{27} или S = 27 \cdot 1 = \boxed{27}. Таким образом, площадь этого прямоугольника равна 27 квадратным сантиметрам.