б) Каково расстояние между серединами оснований, если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 7 и √15?

Хорошо, давайте начнем с задачи б). У нас есть трапеция с перпендикулярными диагоналями, которые равны 7 и \(\sqrt{15}\). Нам нужно найти расстояние между серединами оснований.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойством трапеции - сумма длин диагоналей равна сумме длин оснований. Также, поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин оснований.

Пусть \(a\) и \(b\) - это длины оснований трапеции, а \(d_1\) и \(d_2\) - это длины диагоналей.

Используя теорему Пифагора для первой диагонали, имеем:

\[d_1^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

Используя теорему Пифагора для второй диагонали, имеем:

\[d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, мы можем записать следующее уравнение:

\[d_1^2 + d_2^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[7^2 + (\sqrt{15})^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

\[49 + 15 = a^2 + \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}\]

\[64 = \frac{5a^2 + 3b^2}{4}\]

Переносим все на одну сторону:

\[5a^2 + 3b^2 = 256\]

Теперь у нас есть уравнение, которое зависит от \(a\) и \(b\). Мы не можем найти конкретные значения для \(a\) и \(b\), так как нам дана только информация о диагоналях. Тем не менее, мы можем найти расстояние между серединами оснований.

Мы знаем, что середина диагонали делит ее пополам, поэтому мы можем записать следующее:

\[\frac{a}{2} = \frac{d_1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5\]

\[\frac{b}{2} = \frac{d_2}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}\]

Теперь мы можем найти расстояние между серединами оснований. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с катетами \(\frac{a}{2}\) и \(\frac{b}{2}\), мы можем использовать теорему Пифагора:

\[расстояние^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

\[расстояние^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2\]

\[расстояние^2 = \frac{49}{4} + \frac{15}{4}\]

\[расстояние^2 = \frac{64}{4}\]

\[расстояние^2 = 16\]

\[расстояние = 4\]

Поэтому, расстояние между серединами оснований равно 4.

Теперь перейдем к задаче в). У нас есть трапеция с углами 61° и 29° при большем основании. Точки M и N являются серединами оснований, а точки P и Q - серединами боковых сторон. Мы также знаем, что MN=4 и PQ=7. Нам нужно найти длины оснований трапеции.

Давайте обозначим большее основание как \(a\) и меньшее основание как \(b\).

Так как M и N - середины оснований, длина большего основания равна двойной длине отрезка MN. Поэтому, \(a = 2 \times MN = 2 \times 4 = 8\).

Точно так же, так как P и Q - середины боковых сторон, длина меньшего основания равна двойной длине отрезка PQ. Поэтому, \(b = 2 \times PQ = 2 \times 7 = 14\).

Таким образом, длины оснований трапеции равны 8 и 14.

Это детальное решение задачи с пояснениями для понимания школьником. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.