б) Каково расстояние между серединами оснований, если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 7 и √15?

Хорошо, давайте начнем с задачи б). У нас есть трапеция с перпендикулярными диагоналями, которые равны 7 и $\sqrt{15}$. Нам нужно найти расстояние между серединами оснований.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойством трапеции - сумма длин диагоналей равна сумме длин оснований. Также, поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин оснований.

Пусть $a$ и $b$ - это длины оснований трапеции, а $d_1$ и $d_2$ - это длины диагоналей.

Используя теорему Пифагора для первой диагонали, имеем:

$$d_1^2=a^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

Используя теорему Пифагора для второй диагонали, имеем:

$$d_2^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, мы можем записать следующее уравнение:

$$d_1^2+d_2^2=a^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$7^2+(\sqrt{15}{)}^2=a^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

$$49+15=a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$$

$$64=\frac{5a^2+3b^2}{4}$$

Переносим все на одну сторону:

$$5a^2+3b^2=256$$

Теперь у нас есть уравнение, которое зависит от $a$ и $b$. Мы не можем найти конкретные значения для $a$ и $b$, так как нам дана только информация о диагоналях. Тем не менее, мы можем найти расстояние между серединами оснований.

Мы знаем, что середина диагонали делит ее пополам, поэтому мы можем записать следующее:

$$\frac{a}{2}=\frac{d_1}{2}=\frac{7}{2}=3.5$$

$$\frac{b}{2}=\frac{d_2}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Теперь мы можем найти расстояние между серединами оснований. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$, мы можем использовать теорему Пифагора:

$$расстояни{е}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

$$расстояни{е}^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)}^2$$

$$расстояни{е}^2=\frac{49}{4}+\frac{15}{4}$$

$$расстояни{е}^2=\frac{64}{4}$$

$$расстояни{е}^2=16$$

$$расстояние=4$$

Поэтому, расстояние между серединами оснований равно 4.

Теперь перейдем к задаче в). У нас есть трапеция с углами 61° и 29° при большем основании. Точки M и N являются серединами оснований, а точки P и Q - серединами боковых сторон. Мы также знаем, что MN=4 и PQ=7. Нам нужно найти длины оснований трапеции.

Давайте обозначим большее основание как $a$ и меньшее основание как $b$.

Так как M и N - середины оснований, длина большего основания равна двойной длине отрезка MN. Поэтому, $a=2\times MN=2\times 4=8$.

Точно так же, так как P и Q - середины боковых сторон, длина меньшего основания равна двойной длине отрезка PQ. Поэтому, $b=2\times PQ=2\times 7=14$.

Таким образом, длины оснований трапеции равны 8 и 14.

Это детальное решение задачи с пояснениями для понимания школьником. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.