Алексей и Вадим, обучающиеся на первом курсе химического факультета, проводят эксперимент по измерению количества

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться принципом сохранения массы.

Обозначим количество испарившейся воды из первого сосуда как $x$ кг, а из второго сосуда как $y$ кг.

Из условия задачи известно, что общее количество соли в системе остается неизменным. Так как из первого сосуда испаряется вода, а соль остается, то количество соли в первом сосуде увеличивается в $n$ раз. Изначально в первом сосуде содержится 32 кг солевого раствора, поэтому после испарения будет содержаться $32n$ кг соли.

Аналогично, количество соли во втором сосуде увеличивается в $m$ раз. Следовательно, после испарения во втором сосуде будет содержаться $5m$ кг соли.

Поскольку общее количество соли в системе не изменяется, мы можем записать следующее уравнение:

$$32n+5m=37$$

Также из условия задачи известно, что произведение $mn$ равно некоторому числу. Обозначим это число как $k$. То есть, $mn=k$.

Нам нужно найти максимальное количество испарившейся воды из обоих сосудов, то есть максимальное значение для $x+y$. Обозначим это максимальное значение как $S$.

Теперь мы можем сформулировать задачу в виде математической задачи оптимизации:

$$S=x+y\to max$$
$$32n+5m=37$$
$$mn=k$$

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения $mn=k$ можем выразить одну переменную через другую:

$$m=\frac{k}{n}$$

Подставим это выражение в уравнение $32n+5m=37$:

$$32n+5\cdot \frac{k}{n}=37$$

Упростим это уравнение:

$$32n^2+5k=37n$$

$$32n^2-37n+5k=0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной $n$. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

$$n=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В данном случае $a=32$, $b=-37$, $c=5k$.

$$n=\frac{-(-37)\pm \sqrt{(-37{)}^2-4\cdot 32\cdot 5k}}{2\cdot 32}$$

$$n=\frac{37\pm \sqrt{1369-640k}}{64}$$

Мы получили два значения для $n$. Рассмотрим каждое из них отдельно.

1. Пусть $n_1=\frac{37+\sqrt{1369-640k}}{64}$

Для этого значения $n$ найдем соответствующие значения $m$ и произведение $mn$:
$$m_1=\frac{k}{n_1}$$
$$mn=n_1\cdot m_1$$

2. Пусть $n_2=\frac{37-\sqrt{1369-640k}}{64}$

Для этого значения $n$ найдем соответствующие значения $m$ и произведение $mn$:
$$m_2=\frac{k}{n_2}$$
$$mn=n_2\cdot m_2$$

Теперь для каждой пары значений $n$ и $m$ найдем соответствующие значения $x$ и $y$:
$$x=32(n)=32n_1\text{или}32n_2$$
$$y=5(m)=5m_1\text{или}5m_2$$

Наконец, найдем значения $x+y$ для каждой пары значений $n$ и $m$:
$$S_1=x+y=32n_1+5m_1$$
$$S_2=x+y=32n_2+5m_2$$

Среди значений $S_1$ и $S_2$ выберем максимальное значение. Это и будет максимальное количество испарившейся воды из обоих сосудов при заданных условиях.