Алексей и Вадим, обучающиеся на первом курсе химического факультета, проводят эксперимент по измерению количества

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться принципом сохранения массы.

Обозначим количество испарившейся воды из первого сосуда как \(x\) кг, а из второго сосуда как \(y\) кг.

Из условия задачи известно, что общее количество соли в системе остается неизменным. Так как из первого сосуда испаряется вода, а соль остается, то количество соли в первом сосуде увеличивается в \(n\) раз. Изначально в первом сосуде содержится 32 кг солевого раствора, поэтому после испарения будет содержаться \(32n\) кг соли.

Аналогично, количество соли во втором сосуде увеличивается в \(m\) раз. Следовательно, после испарения во втором сосуде будет содержаться \(5m\) кг соли.

Поскольку общее количество соли в системе не изменяется, мы можем записать следующее уравнение:

\[32n + 5m = 37\]

Также из условия задачи известно, что произведение \(mn\) равно некоторому числу. Обозначим это число как \(k\). То есть, \(mn = k\).

Нам нужно найти максимальное количество испарившейся воды из обоих сосудов, то есть максимальное значение для \(x + y\). Обозначим это максимальное значение как \(S\).

Теперь мы можем сформулировать задачу в виде математической задачи оптимизации:

\[S = x + y \rightarrow \max\]
\[32n + 5m = 37\]
\[mn = k\]

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения \(mn = k\) можем выразить одну переменную через другую:

\[m = \frac{k}{n}\]

Подставим это выражение в уравнение \(32n + 5m = 37\):

\[32n + 5 \cdot \frac{k}{n} = 37\]

Упростим это уравнение:

\[32n^2 + 5k = 37n\]

\[32n^2 - 37n + 5k = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(n\). Решим его с помощью формулы дискриминанта:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае \(a = 32\), \(b = -37\), \(c = 5k\).

\[n = \frac{-(-37) \pm \sqrt{(-37)^2 - 4 \cdot 32 \cdot 5k}}{2 \cdot 32}\]

\[n = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 640k}}{64}\]

Мы получили два значения для \(n\). Рассмотрим каждое из них отдельно.

1. Пусть \(n_1 = \frac{37 + \sqrt{1369 - 640k}}{64}\)

Для этого значения \(n\) найдем соответствующие значения \(m\) и произведение \(mn\):
\[m_1 = \frac{k}{n_1}\]
\[mn = n_1 \cdot m_1\]

2. Пусть \(n_2 = \frac{37 - \sqrt{1369 - 640k}}{64}\)

Для этого значения \(n\) найдем соответствующие значения \(m\) и произведение \(mn\):
\[m_2 = \frac{k}{n_2}\]
\[mn = n_2 \cdot m_2\]

Теперь для каждой пары значений \(n\) и \(m\) найдем соответствующие значения \(x\) и \(y\):
\[x = 32(n) = 32n_1 \quad \text{или} \quad 32n_2\]
\[y = 5(m) = 5m_1 \quad \text{или} \quad 5m_2\]

Наконец, найдем значения \(x + y\) для каждой пары значений \(n\) и \(m\):
\[S_1 = x + y = 32n_1 + 5m_1\]
\[S_2 = x + y = 32n_2 + 5m_2\]

Среди значений \(S_1\) и \(S_2\) выберем максимальное значение. Это и будет максимальное количество испарившейся воды из обоих сосудов при заданных условиях.