Агар екі натурал санның арифметикалық ортасы 35-ге, бірақ геометриялық ортасы 28-ге тең болса, онда оларды табыңыз

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала давайте найдем сумму этих двух чисел. Пусть первое число будет обозначено как \(x\) и второе число как \(y\). Мы знаем, что арифметическая средняя равна 35 и геометрическая средняя равна 28.

Арифметическая средняя вычисляется путем нахождения суммы всех чисел и деления этой суммы на их количество. В данном случае, сумма равна \(x + y\), а количество чисел равно 2. Поэтому у нас имеем следующее уравнение:

\[\frac{x + y}{2} = 35\]

Геометрическая средняя находится путем извлечения квадратного корня из произведения всех чисел. В данном случае, произведение равно \(xy\). Поэтому у нас имеем следующее уравнение:

\[\sqrt{xy} = 28\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{x + y}{2} &= 35 \\
\sqrt{xy} &= 28 \\
\end{align*}
\]

Для решения этой системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, давайте воспользуемся методом подстановки.

Исходя из первого уравнения, мы можем выразить \(x\) через \(y\), а именно:

\[x = 70 - y\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[\sqrt{(70 - y)y} = 28\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(70 - y)y = 28^2\]

Раскроем скобки:

\[70y - y^2 = 784\]

Перенесем все члены уравнения влево:

\[y^2 - 70y + 784 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить, используя метод дискриминанта или метод завершения квадрата. В данном случае, используем метод дискриминанта.

Для того чтобы решить данное квадратное уравнение, мы должны знать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Для нашего уравнения, коэффициенты равны:

\[a = 1, \quad b = -70, \quad c = 784\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-70)^2 - 4(1)(784) = 4900 - 3136 = 1764\]

Теперь, решим уравнение используя формулу:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения в формулу:

\[y = \frac{-(-70) \pm \sqrt{1764}}{2(1)}\]

Выполним вычисления:

\[y = \frac{70 \pm 42}{2}\]

Таким образом, имеем два возможных значения для \(y\):

\[y_1 = \frac{70 + 42}{2} = 56\]
\[y_2 = \frac{70 - 42}{2} = 14\]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для \(x\), мы можем использовать выражение \(x = 70 - y\):

\[x_1 = 70 - 56 = 14\]
\[x_2 = 70 - 14 = 56\]

Итак, у нас есть две пары значений для \(x\) и \(y\):

\((x_1, y_1) = (14, 56)\)
\((x_2, y_2) = (56, 14)\)

Таким образом, мы нашли две пары чисел, которые удовлетворяют условию задачи.