А5. а) Найдите меру центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг, если точки А и В разделяют окружность

Для решения данной задачи мы будем использовать основные свойства центральных углов и вписанных углов окружности.

а) Чтобы найти меру центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг, мы сначала найдем угол, соответствующий каждой из дуг. Обозначим меньшую дугу как \(x\), а большую – как \(y\).

Поскольку длины дуг имеют отношение 5:6, мы можем записать следующее:

\[\frac{x}{y} = \frac{5}{6}\]

Теперь вспомним свойство центрального угла, согласно которому центральный угол опирающийся на дугу равен отношению длины этой дуги к радиусу окружности:

\[\frac{x}{360^\circ} = \frac{5}{11}\]

Мы знаем, что сумма центральных углов в окружности равна 360 градусам. Поэтому мы можем записать:

\[\frac{y}{360^\circ} = \frac{6}{11}\]

Теперь, чтобы найти меру центрального угла опирающегося на меньшую дугу \(x\), умножим оба конечных выражения на 360:

\[x = \frac{5}{11} \cdot 360^\circ = 163.64^\circ\]

Таким образом, мера центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг, равна \(163.64^\circ\).

б) Аналогичным образом мы можем решить задачу для вписанного угла.

Обозначим меньшую дугу как \(x\), а большую – как \(y\). Поскольку длины дуг имеют отношение 11:30, мы можем записать:

\[\frac{x}{y} = \frac{11}{30}\]

Затем мы используем свойство вписанного угла, согласно которому вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги:

\[\frac{x}{180^\circ} = \frac{11}{41}\]

Мы знаем, что сумма мер вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, равна \(180^\circ\). Поэтому мы можем записать:

\[\frac{y}{180^\circ} = \frac{30}{41}\]

Теперь, чтобы найти меру вписанного угла опирающегося на меньшую дугу \(x\), умножим оба конечных выражения на \(180^\circ\):

\[x = \frac{11}{41} \cdot 180^\circ = 48.78^\circ\]

Таким образом, мера вписанного угла, опирающегося на меньшую из дуг, равна \(48.78^\circ\).

Я надеюсь, этот ответ был полезен и понятен! Если у вас есть еще вопросы или задачи, обращайтесь!