a) В олимпиаде по математике участвовало сколько девятиклассников? b) Сколько учащихся участвовало как в олимпиаде

Давайте решим данную задачу пошагово.

a) Пусть \(x\) - количество учащихся, принимавших участие в олимпиаде по математике. Так как в олимпиаде участвовали только девятиклассники, можем записать уравнение: \(\frac{x}{9} = x\). Решим его:

\[
\frac{x}{9} = x
\]

Умножим обе части уравнения на 9:

\[
x = 9x
\]

Вычтем \(x\) из обеих частей уравнения:

\[
8x = 0
\]

Получаем, что \(x = 0\). Таким образом, ни один девятиклассник не принимал участие в олимпиаде по математике.

b) Пусть \(y\) - количество учащихся, принимавших участие и в олимпиаде по математике, и в олимпиаде по английскому языку. По условию задачи, это количество должно быть одинаковым, поэтому можем записать уравнение: \(x = y\). Принимая во внимание, что \(x = 0\) (ответ из пункта a),\) получаем \(y = 0\). Значит, ни один ученик не участвовал одновременно и в олимпиаде по математике, и в олимпиаде по английскому языку.

c) Пусть \(z\) - количество учащихся, принимавших участие и в олимпиаде по литературе, и в олимпиаде по английскому языку. По условию задачи, у нас нет информации о количестве учащихся, которые участвовали только в олимпиаде по английскому языку, либо только в олимпиаде по литературе. Поэтому, так как мы знаем, что ни в олимпиаде по математике, ни в олимпиаде по английскому языку никто не участвовал, исходя из свойства объединения, можем записать уравнение:

\[
z = y + x
\]

Подставим значения \(y = 0\) и \(x = 0\) в уравнение:

\[
z = 0 + 0
\]

Получаем, что \(z = 0\). Таким образом, ни один ученик не участвовал одновременно и в олимпиаде по литературе, и в олимпиаде по английскому языку.

d) Теперь найдем количество учащихся, принимавших участие хотя бы в одной из трех олимпиад. Исходя из условия задачи, число участников каждой олимпиады равно сумме количеств участников в каждой олимпиаде по отдельности:

\[
x + y + z
\]

Подставим значения \(x = 0\), \(y = 0\) и \(z = 0\):

\[
0 + 0 + 0 = 0
\]

Получаем, что ни один ученик не участвовал хотя бы в одной из трех олимпиад.

e) Чтобы найти количество учащихся, участвовавших в двух олимпиадах, нужно сложить количество участников каждой пары олимпиад:

- Олимпиада по математике и английскому языку: \(x + y\)
- Олимпиада по математике и литературе: \(x + z\)
- Олимпиада по английскому языку и литературе: \(y + z\)

Сложим эти значения:

\[
(x + y) + (x + z) + (y + z)
\]

Подставим значения \(x = 0\), \(y = 0\) и \(z = 0\):

\[
(0 + 0) + (0 + 0) + (0 + 0) = 0
\]

Получаем, что ни один ученик не участвовал одновременно в двух олимпиадах.

f) Найдем количество учащихся, участвовавших во всех трех олимпиадах. Исходя из условия задачи, ситуация такова, что никто не участвовал в олимпиаде по математике, английскому языку и литературе одновременно. Следовательно, количество участников во всех трех олимпиадах равно 0.