a) Сколько возможных комбинаций можно образовать из четырех разных букв? b) Сколько трехзначных чисел может быть

a) Чтобы определить количество возможных комбинаций, которые можно образовать из четырех разных букв, нам нужно использовать формулу для перестановок без повторений. Формула для перестановки без повторений k элементов из n элементов задается следующим образом:

\[P(n, k) = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\]

В данном случае у нас 4 различных буквы, и мы хотим узнать, сколько комбинаций можно образовать. Поэтому мы используем количество всех 4 букв и берем 4 буквы (k = 4):

\[P(4, 4) = \frac{{4!}}{{(4 - 4)!}} = \frac{{4!}}{{0!}} = \frac{{4!}}{{1}} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\]

Таким образом, можно образовать 24 возможных комбинации из четырех разных букв.

b) Чтобы определить, сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных цифр, учитывая возможность использования нуля в качестве первой цифры, мы используем следующую формулу:

\[P(n, k) = n^k\]

Где n - количество возможных цифр (в данном случае 10, т.к. мы можем использовать любую цифру от 0 до 9), а k - количество позиций (в данном случае 3, т.к. мы создаем трехзначные числа):

\[P(10, 3) = 10^3 = 1000\]

Таким образом, можно составить 1000 трехзначных чисел из трех различных цифр.

c) Чтобы определить количество анаграмм, которые можно составить из слова "СЕКУНДА", мы должны использовать формулу для перестановок с повторениями. Формула для перестановки с повторениями k элементов из n элементов задается следующим образом:

\[P_{rep}(n, k) = \frac{{n!}}{{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!}}\]

Где n - общее количество букв в слове (в данном случае 7), n1, n2, ..., nk - количество повторяющихся букв (в данном случае "С" - 1 раз, "Е" - 1 раз, "К" - 1 раз, "У" - 1 раз, "Н" - 1 раз, "Д" - 1 раз, "А" - 1 раз):

\[P_{rep}(7, 7) = \frac{{7!}}{{1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}} = \frac{{7!}}{{1}} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\]

Таким образом, можно составить 5040 анаграмм из слова "СЕКУНДА".

d) Чтобы определить количество различных восьмиверных слов, которые можно составить с чередующимися гласными и согласными буквами, мы должны разделить слово на две части - одну для гласных и одну для согласных. В слове "восьмиверных" есть 5 гласных ("о", "и", "е", "и", "ы") и 3 согласные ("в", "с", "м").

Мы можем выбрать 4 позиции для гласных букв из общего количества гласных (5 гласных), и 4 позиции для согласных букв из общего количества согласных (3 согласные).

Таким образом, количество различных восьмиверных слов можно определить как произведение сочетаний для гласных и согласных:

\[{C(5, 4)} \times {C(3, 4)} = \frac{{5!}}{{4! \times (5 - 4)!}} \times \frac{{3!}}{{4! \times (3 - 4)!}} = 5 \times 1 = 5\]

Таким образом, можно составить 5 различных восьмиверных слов с чередующимися гласными и согласными буквами.

e) Чтобы определить количество слов, которые можно составить из не более чем четырех разных букв, мы должны рассмотреть все возможные комбинации. У нас есть 26 различных букв в английском алфавите, поэтому, чтобы определить общее количество слов, мы должны рассмотреть все возможные комбинации до 4 букв и сложить их.

Количество комбинаций из 1 буквы: \(C(26, 1) = 26\)

Количество комбинаций из 2 букв: \(C(26, 2) = \frac{{26!}}{{2! \times (26 - 2)!}} = \frac{{26!}}{{2! \times 24!}}\)

Количество комбинаций из 3 букв: \(C(26, 3) = \frac{{26!}}{{3! \times (26 - 3)!}} = \frac{{26!}}{{3! \times 23!}}\)

Количество комбинаций из 4 букв: \(C(26, 4) = \frac{{26!}}{{4! \times (26 - 4)!}} = \frac{{26!}}{{4! \times 22!}}\)

Теперь сложим все значения, чтобы получить общее количество слов:

\[26 + \frac{{26!}}{{2! \times 24!}} + \frac{{26!}}{{3! \times 23!}} + \frac{{26!}}{{4! \times 22!}}\]