А. Сколько существует постоянных интегрирований в общем решении ДУ третьего порядка? 2. Может ли функция у = С1 х

1. Чтобы ответить на первый вопрос, нам нужно рассмотреть общее решение ДУ третьего порядка. Общее решение такого уравнения имеет вид:
\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + C_3 y_3(x) + y_p(x) \]
где \( C_1, C_2, C_3 \) - произвольные константы, а \( y_1(x), y_2(x), y_3(x) \) - линейно независимые функции, образующие базис для пространства решений однородного уравнения. \( y_p(x) \) - частное решение неоднородного уравнения.

Таким образом, количество постоянных интегрирований в общем решении ДУ третьего порядка равно трём (так как у нас три произвольные константы \( C_1, C_2, C_3 \)).

2. Функция \( y = C_1 x + C_2 \) не может являться общим решением ДУ первого порядка. Общее решение ДУ первого порядка имеет вид:
\[ y(x) = C e^{kx} \]
где \( C \) - произвольная константа, а \( k \) - коэффициент, зависящий от самого уравнения. Таким образом, уравнение \( y = C_1 x + C_2 \) не будет являться решением ДУ, если функции \( f(x) \) и \( g(y) \) не будут подобраны таким образом, чтобы они удовлетворяли ДУ.

3. Разница между дифференциальным уравнением (ДУ) и алгебраическим уравнением состоит в виде уравнений и способе их решения. Алгебраическое уравнение включает только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень) и не содержит производных или дифференциалов. ДУ, с другой стороны, включает в себя производные и дифференциалы и требует использования методов дифференциального исчисления для его решения.

4. Виды ДУ включают:
- Линейные ДУ: уравнения с линейной зависимостью переменных и их производных.
- Нелинейные ДУ: уравнения, в которых переменные и их производные не образуют линейную зависимость.
- Однородные ДУ: уравнения, в которых все слагаемые содержат одну и ту же функцию и ее производные (равны 0).
- Неоднородные ДУ: уравнения, в которых есть дополнительные слагаемые, не равные нулю.
- ДУ первого порядка: уравнения, содержащие только первые производные.
- ДУ высших порядков: уравнения, содержащие производные более высоких порядков (вторые, третьи и т.д.).

5. ДУ с разделенными переменными решается следующим образом:
- Перепишите уравнение в виде \(f(y) \cdot y" = g(x)\), где \(f(y)\) - функция от \(y\), \(g(x)\) - функция от \(x\).
- Разделите обе части уравнения на \(f(y)\).
- Проинтегрируйте обе части по соответствующим переменным.
- Решите полученное уравнение для переменной \(y\) и найдите его общее решение.

6. ДУ с разделяющимися переменными и ДУ с разделенными переменными - это одно и то же. Оба термина обозначают класс уравнений, где переменные \(x\) и \(y\) можно разделить, помещая производные одной переменной на одну сторону уравнения, а переменные на другую сторону. В фразе "ДУ с разделяющимися переменными" слово "разделяющимися" означает раздельность переменных.

7. ДУ с разделенными переменными может рассматриваться как частный случай ДУ с разделяющимися переменными. Оба типа уравнений имеют общую идею разделения переменных, но ДУ с разделяющимися переменными представляет собой более общий класс уравнений, который включает и ДУ с разделенными переменными.

8. Задача Коши включает в себя одновременное определение ДУ и начальных условий (значения функции и ее производных в некоторой точке). Решение задачи Коши состоит в поиске функции, удовлетворяющей ДУ и начальным условиям.

9. Подстановка Бернулли - метод решения дифференциальных уравнений, которые могут быть приведены к линейному уравнению с помощью определенной замены переменной. Подстановка Бернулли особенно полезна при решении нелинейных неоднородных ДУ первого порядка вида \(y" + p(x)y = q(x)y^n\), где \(n \neq 0, n \neq 1\). После замены переменной и упрощения уравнение может быть сведено к линейному виду, что упрощает его решение.