a) Разложите вектор DT по векторам CA, CB и CD в тетраэдре ABCD. б) Разложите вектор AT по векторам CA, CB и

Чтобы разложить вектор DT по векторам CA, CB и CD в тетраэдре ABCD, мы можем использовать метод векторных проекций или правило параллелограмма.

a) Разложение вектора DT по векторам CA, CB и CD:
- Первым шагом находим проекцию вектора DT на вектор CA. Для этого рассчитаем проекцию вектора DT на направляющий вектор CA, используя формулу проекции:
\[DP = \frac{{DT \cdot CA}}{{|CA|^2}} \cdot CA\]
- Затем находим проекцию вектора DT на вектор CB. Аналогично рассчитываем проекцию вектора DT на направляющий вектор CB:
\[DQ = \frac{{DT \cdot CB}}{{|CB|^2}} \cdot CB\]
- Наконец, находим проекцию вектора DT на вектор CD. Повторяем аналогичные шаги:
\[DR = \frac{{DT \cdot CD}}{{|CD|^2}} \cdot CD\]

Итак, вектор DT может быть разложен по векторам CA, CB и CD следующим образом:
\[DT = DP + DQ + DR\]

б) Разложение вектора AT:
- Опять же, найдем проекцию вектора AT на вектор CA:
\[AP = \frac{{AT \cdot CA}}{{|CA|^2}} \cdot CA\]
- Затем находим проекцию вектора AT на вектор CB:
\[BQ = \frac{{AT \cdot CB}}{{|CB|^2}} \cdot CB\]
- И, наконец, проекцию вектора AT на вектор CD:
\[CR = \frac{{AT \cdot CD}}{{|CD|^2}} \cdot CD\]

Таким образом, вектор AT может быть разложен по векторам CA, CB и CD:
\[AT = AP + BQ + CR\]

в) Разложение вектора CH:
- Снова находим проекцию вектора CH на вектор CA:
\[AH = \frac{{CH \cdot CA}}{{|CA|^2}} \cdot CA\]
- Находим проекцию вектора CH на вектор CB:
\[BH = \frac{{CH \cdot CB}}{{|CB|^2}} \cdot CB\]
- И, наконец, проекцию вектора CH на вектор CD:
\[CH = AH + BH\]

Таким образом, вектор CH может быть разложен по векторам CA, CB и CD:
\[CH = AH + BH\]