а) Постройте фигуру, которая является симметричной относительно оси ОХ отрезка АВ, который задан точками А(2

Для решения данной задачи нам потребуется построить симметричные фигуры относительно оси \(OХ\) и точки \(С\).

а) Построим фигуру, симметричную относительно оси \(OХ\) отрезка \(АВ\). Для этого необходимо найти середину отрезка \(АВ\), которая будет лежать на оси \(OХ\). Для нахождения середины отрезка используем формулы:

\[x_{сред} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_{сред} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки \(А(2; 5)\), а \(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки \(В(-1; -3)\). Подставим значения и найдем середину отрезка:

\[x_{сред} = \frac{{2 + (-1)}}{2} = \frac{1}{2}\]
\[y_{сред} = \frac{{5 + (-3)}}{2} = 1\]

Таким образом, получаем, что середина отрезка \(АВ\) имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\). Теперь мы можем построить симметричные точки относительно оси \(OХ\), подставив противоположное значение координаты \(y\) для точки \(А\) и точки \(В\). Получаем симметричные точки:

Точка \(А"\left(2;-5\right)\).
Точка \(В"\left(-1;3\right)\).

Теперь соединим точки \(А"\) и \(В"\) с точками \(А\) и \(В\), чтобы получить фигуру, симметричную относительно оси \(OХ\) отрезка \(АВ\).

б) Построим фигуру, симметричную относительно точки \(С(-1; 0)\) отрезка \(АВ\). Для этого необходимо для каждой точки \(А\) и \(В\) найти ее симметричную точку относительно точки \(С\). Для этого нужно отразить каждую точку относительно прямой, проходящей через точку \(С\) и перпендикулярной отрезку \(АВ\).

Чтобы найти симметричную точку для точки \(А(2; 5)\), нужно отразить ее относительно серединной точки \(С(-1; 0)\). Для этого найдем вектор, соединяющий точки \(С\) и \(А\):

\[ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} \]
\[ \overrightarrow{CA} = (2 - (-1); 5 - 0) = (3; 5) \]

Теперь отразим вектор \(\overrightarrow{CA}\) относительно \(С\):

\[ \overrightarrow{CA"} = - \overrightarrow{CA} = (-3; -5) \]

Симметричная точка \(А"\) имеет координаты (-3; -5).

Аналогично, найдем симметричную точку для точки \(В(-1; -3)\):

\[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \]
\[ \overrightarrow{CB} = (-1 - (-1); -3 - 0) = (0; -3) \]

Теперь отразим вектор \(\overrightarrow{CB}\) относительно \(С\):

\[ \overrightarrow{CB"} = - \overrightarrow{CB} = (0; 3) \]

Симметричная точка \(В"\) имеет координаты (0; 3).

Теперь соединим точку \(А"\) с \(В"\), а также точки \(А\) и \(В\), чтобы получить фигуру, симметричную относительно точки \(С(-1; 0)\) отрезка \(АВ\).

Таким образом, мы построили симметричную фигуру относительно оси \(OХ\) отрезка \(АВ\) и симметричную фигуру относительно точки \(С(-1; 0)\) отрезка \(АВ\).