а) Подтвердите утверждение о том, что прямая, проходящая через точку B и центр окружности O, делит трапецию

Для доказательства утверждения а), нужно показать, что обе части трапеции имеют равную площадь. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, где точка B находится на окружности O с центром в точке O.

а) Докажем, что прямая, проходящая через точку B и центр O, делит трапецию на две фигуры равной площади.

Рассмотрим сегмент MOBN, где M и N являются точками касания окружности O с боковыми сторонами трапеции ABCD. Поскольку MOBN — сегмент окружности, то можно заметить, что угол MOB равен углу NOB. Также можно заметить, что угол NOB является прямым углом.

Таким образом, имеем углы MOB и NOB, равные друг другу и состоящие из двух прямых углов. Значит, треугольники MOB и NOB равны по двум углам.

Также MO=NO поскольку это радиусы одной и той же окружности O. Теперь рассмотрим высоты треугольников, опущенные из точек M и N на основание трапеции AB. Поскольку высоты треугольников имеют общую основу AB и равным углам, треугольники имеют одинаковую высоту.

Таким образом, треугольники MOB и NOB одинаковы по высотам и основаниям, следовательно, они имеют равную площадь.

Теперь рассмотрим две части трапеции ABCD — трапеции ADMN и трапеции BCMN. Поясним, что M и N — точки касания окружности O с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Поскольку прямая, проходящая через точку B и центр окружности O, пересекает основание AD, можно заметить, что треугольники MOB и MOA будут равными, поскольку у них общая основа MO и одинаковые углы при вершинах. Аналогично треугольники NOB и NOA будут равными.

Таким образом, треугольники MOA и NOA равны по площади.

Теперь рассмотрим трапецию ADMN. Эта трапеция состоит из треугольника MOA и равных им по площади треугольников ADM и AMN.

Точно так же рассмотрим трапецию BCMN. Эта трапеция состоит из треугольника NOA и равных им по площади треугольников BCN и BNM.

Исходя из вышеизложенного, мы можем заключить, что трапеция ADMN и трапеция BCMN оба состоят из равных треугольников. Следовательно, эти две фигуры имеют равную площадь.

б) Теперь рассмотрим ситуацию, когда известно, что AD=3BC, и точками M и N являются точки касания окружности O с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Для нахождения отношения площадей трапеций ADMN и BCMN, мы можем использовать свойство отношения площадей фигур, основанное на соотношении их высот.

Высоты треугольников ADM и AMN в трапеции ADMN равны, так как высоты одного треугольника становятся высотами другого треугольника, когда мы переворачиваем фигуру вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M.

Аналогично, высота треугольников BCN и BNM в трапеции BCMN также будет равна из-за аналогичного свойства.

Таким образом, отношение площадей трапеций ADMN и BCMN равно отношению их оснований AD и BC.

Согласно условию задачи, AD=3BC. Поэтому отношение площадей трапеций ADMN и BCMN будет равно \(\frac{AD}{BC}=\frac{3}{1}\).

Таким образом, площадь трапеции ADMN будет в 3 раза больше площади трапеции BCMN.