A.) Найдите решение следующего уравнения: [tex]5^{2sin2x}=(1/25)^{cos( frac{3pi}{2} + x)[/tex] B.) Определите

A.) Чтобы найти решение данного уравнения, начнем с упрощения его выражения.

Используя свойства степеней, мы можем заметить, что \((1/25)^{cos(\frac{3\pi}{2} + x)}\) эквивалентно \((5^{-2})^{cos(\frac{3\pi}{2} + x)}\).

Теперь мы можем объединить основания степеней с исходным основанием 5:

\[5^{2sin2x} = (5^{-2})^{cos(\frac{3\pi}{2} + x)}\]

Применяя свойство равенства степенных выражений \((a^{m})^{n} = a^{mn}\), мы можем записать уравнение в следующем виде:

\[5^{2sin2x} = 5^{-2 \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + x)}\]

Теперь, так как основание уравнения одинаково, мы можем приравнять показатели степени:

\[2sin2x = -2 \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + x)\]

Дальше мы можем разрешить это уравнение, перемещая переменные и применяя тригонометрические тождества. Если вы знаете специфические тригонометрические идентичности для тригонометрической функции значения \(\sin(2\theta)\) и \(\cos(2\theta)\), вы можете использовать их для упрощения этого уравнения.

Общим методом решения этого уравнения является следующее:

1. Приводим коэффициенты к удобному виду. В данном случае, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, можно умножить обе части уравнения на \(-1\):
\[-2sin2x = 2 \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + x)\]

2. Применим тригонометрическую идентичность для \(\sin(-\theta) = -sin(\theta)\) и \(\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)\):
\[-2sin2x = 2 \cdot -cos(x - \frac{\pi}{2})\]

3. Разрешим уравнение для \(sin2x\) и \(cos(x - \frac{\pi}{2})\), используя тригонометрическую идентичность для \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):
\[sin2x = -2 \cdot \frac{\cos(x - \frac{\pi}{2})}{-2} = \cos(x - \frac{\pi}{2})\]

4. Применим другую тригонометрическую идентичность для \(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\theta)\):
\[sin2x = \sin(\frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{2}))\]

5. Используем свойство равенства синусов \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\) равносильно \(\alpha = \beta + 2k\pi\) или \(\alpha = \pi - (\beta + 2k\pi)\):
\[2x = \frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{2}) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - (\frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{2})) + 2k\pi\]

6. Решим полученные уравнения для \(x\):
\[2x - x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x = \pi + 2k\pi\]
\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 2k\pi\]

Таким образом, решением исходного уравнения \(5^{2sin2x} = (1/25)^{cos(\frac{3\pi}{2} + x)}\) являются значения \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) и \(x = \pi + 2k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

B.) Чтобы определить все значения переменной, при которых уравнение имеет корни на интервале \(\frac{3\pi}{2} < x < \pi\), мы должны проверить, входят ли значения \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) и \(x = \pi + 2k\pi\) в этот интервал.

Подставим значения для \(k = -1\) и \(k = 0\) в оба решения:
\[x = \frac{\pi}{2} + 2(-1)\pi = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2}\]
\[x = \pi + 2(-1)\pi = -\pi < \frac{3\pi}{2}\]

Мы видим, что значения \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi\) и \(x = -\pi\) входят в интервал \(\frac{3\pi}{2} < x < \pi\). Следовательно, корни уравнения существуют на этом интервале и равны \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi\) и \(x = -\pi\).