а) Найдите координаты центра сферы и определите радиус, если сфера задана уравнением (х-4)^2+(у+2)^2+z^2=4

Хорошо, начнем с задачи а). У нас дано уравнение сферы \((x-4)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 4\). Чтобы найти координаты центра сферы и ее радиус, мы должны привести уравнение к каноническому виду. Для этого раскроем скобки в уравнении:

\[(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) + z^2 = 4\]

Затем объединим одинаковые слагаемые:

\[x^2 - 8x + y^2 + 4y + z^2 + 20 = 4\]

Теперь вычтем 20 из обеих сторон уравнения:

\[x^2 - 8x + y^2 + 4y + z^2 = -16\]

Для приведения к каноническому виду дополним квадраты до полного квадрата. В данном случае мы можем дополнить квадраты по формуле \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\). Добавим недостающие члены:

\[(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) + z^2 = -16 + 16 + 4\]

\[(x-4)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 4\]

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде \((x-4)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 4\). Из этого уравнения мы можем понять, что центр сферы находится в точке (4, -2, 0), так как при \(x-4 = 0\), \(y+2 = 0\) и \(z = 0\) уравнение равно 0.

Радиус сферы будет равен квадратному корню из числа, стоящего справа от знака равенства, то есть \(\sqrt{4} = 2\).

Теперь перейдем к задаче б). Нам нужно проверить, принадлежит ли точка А(4, 3, -1) данной сфере. Для этого мы можем подставить координаты точки в уравнение сферы и проверить, выполняется ли оно:

\((4-4)^2 + (3+2)^2 + (-1)^2 = 0 + 25 + 1 = 26\)

Так как полученная сумма (26) не равна 4, точка А не принадлежит данной сфере.

Надеюсь, это решение полностью объясняет задачу и ответ понятен. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!