А) Найдите координаты центра окружности с диаметром AB, если известны координаты точек А(3;7) и В(5;-1). b) С помощью

Хорошо! Давайте начнем с пункта (а).

Для нахождения координат центра окружности нам понадобится использовать середину отрезка AB. Середину можно найти, сложив соответствующие координаты точек A и B и поделив результат на 2.

Итак, для нахождения координат центра окружности, применим следующие шаги:

1. Найдем сумму координат точек A и B, чтобы получить координаты середины отрезка:
\( x_с = \frac{(x_A + x_B)}{2} \)
\( y_с = \frac{(y_A + y_B)}{2} \)

В нашем случае это будет:
\( x_с = \frac{(3 + 5)}{2} = 4 \)
\( y_с = \frac{(7 + (-1))}{2} = 3 \)

Таким образом, координаты центра окружности равны (4; 3).

Теперь перейдем к пункту (b) - записи уравнения окружности.

Уравнение окружности можно записать в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где (a; b) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Мы уже знаем координаты центра окружности (4; 3), но нам нужно найти радиус. Радиус окружности можно найти, используя расстояние между центром окружности и любой точкой на окружности. Мы можем использовать расстояние между центром окружности и точкой A, так как точка A лежит на окружности с диаметром AB.

Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости (формула расстояния между двумя точками в пространстве):

\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

В нашем случае:

\( d = \sqrt{(x_A - x_с)^2 + (y_A - y_с)^2} \)

Подставим известные значения:

\( d = \sqrt{(3 - 4)^2 + (7 - 3)^2} \)

\( d = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} \)

\( d = \sqrt{1 + 16} \)

\( d = \sqrt{17} \)

Итак, радиус равен \(\sqrt{17}\).

Теперь, чтобы записать уравнение окружности, подставим известные значения в уравнение:

\((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = (\sqrt{17})^2\)

\((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 17\)

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке (4; 3) и радиусом \(\sqrt{17}\) будет \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 17\).

Надеюсь, этот ответ был понятен и полезен для вас!