A) Найдите дифференциал функции y = (sin x) / (2x + 16). B) Найдите дифференциал функции y = (cos x) / (5x

A) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{{\sin x}}{{2x + 16}}\), мы воспользуемся правилом дифференцирования дробной функции. Вспомним, что дифференциал функции \(y\) обозначается как \(dy\), и он определяется следующим образом:

\[dy = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot dx\]

Чтобы найти \(\frac{{dy}}{{dx}}\), нам нужно применить правило к дробному выражению. Для деления двух функций нам потребуется применить правило дифференцирования частного функций.

По правилу дифференцирования частного функций, мы можем записать:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{(2x + 16) \cdot \frac{{d(\sin x)}}{{dx}} - \sin x \cdot \frac{{d(2x + 16)}}{{dx}}}}{{(2x + 16)^2}}\]

Теперь найдем производные от функций \(\sin x\) и \(2x + 16\). Производная \(\sin x\) равна \(\cos x\), а производная \(2x + 16\) равна 2.

Теперь, подставим найденные значения:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{(2x + 16) \cdot \cos x - \sin x \cdot 2}}{{(2x + 16)^2}}\]

Используя формулу дифференциала \(dy = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot dx\), мы можем найти дифференциал функции \(y\):

\[dy = \left(\frac{{(2x + 16) \cdot \cos x - \sin x \cdot 2}}{{(2x + 16)^2}}\right) \cdot dx\]

B) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{{\cos x}}{{5x + 9}}\), мы также воспользуемся правилом дифференцирования дробной функции.

Используя аналогичные шаги, мы найдем \(\frac{{dy}}{{dx}}\) и \(dy\):

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{(5x + 9) \cdot \left(\frac{{d(\cos x)}}{{dx}}\right) - \cos x \cdot \left(\frac{{d(5x + 9)}}{{dx}}\right)}}{{(5x + 9)^2}}\]

Производная \(\cos x\) равна \(-\sin x\), а производная \(5x + 9\) равна 5.

Теперь, подставим найденные значения и воспользуемся формулой дифференциала \(dy = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot dx\):

\[dy = \left(\frac{{(5x + 9) \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot 5}}{{(5x + 9)^2}}\right) \cdot dx\]

C) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{{x^5 + 8}}{{\sin x}}\), мы снова воспользуемся правилом дифференцирования дробной функции.

Проделав аналогичные шаги, мы найдем \(\frac{{dy}}{{dx}}\) и \(dy\):

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{(\sin x) \cdot \left(\frac{{d(x^5 + 8)}}{{dx}}\right) - (x^5 + 8) \cdot \left(\frac{{d(\sin x)}}{{dx}}\right)}}{{(\sin x)^2}}\]

Производная \(x^5 + 8\) равна \(5x^4\), а производная \(\sin x\) равна \(\cos x\).

Используя формулу дифференциала \(dy = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot dx\), получаем:

\[dy = \left(\frac{{(\sin x) \cdot (5x^4) - (x^5 + 8) \cdot (\cos x)}}{{(\sin x)^2}}\right) \cdot dx\]

D) Для нахождения дифференциала функции \(y = 5x^3 + \frac{2}{{e^x}}\), мы нужно применить правила дифференцирования для каждого слагаемого функции.

Производная \(5x^3\) равна \(15x^2\), а производная \(\frac{2}{{e^x}}\) равна \(-\frac{2}{{e^x}}\) по правилу дифференцирования обратной функции.

Теперь, чтобы найти дифференциал функции \(y\), просуммируем полученные производные:

\[dy = 15x^2 - \frac{2}{{e^x}} \cdot dx\]

E) Для нахождения дифференциала функции \(y = e^x + 6\), мы воспользуемся правилом дифференцирования экспоненциальной функции.

Производная \(e^x\) равна просто \(e^x\), так как производная экспоненты равна самой функции.

Теперь, используя формулу дифференциала \(dy = \frac{{dy}}{{dx}} \cdot dx\), получаем:

\[dy = (e^x) \cdot dx\]

Данные ответы были получены путем применения правил дифференцирования и формулы дифференциала. Надеюсь, эта подробная информация помогла вам лучше понять процесс нахождения дифференциала функций. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.