а) Может ли прямая линия пересекать ровно 21 отрезок, если 10 точек на плоскости попарно соединены отрезками, и прямая

Конечно, я помогу вам с этими задачами! Давайте начнем с первой задачи.

а) Чтобы определить, может ли прямая линия пересекать 21 отрезок, нужно сначала понять, какое максимальное количество отрезков может пересекать одна линия без пересечения с точками.

Мы знаем, что вторая точка на любом отрезке может быть соединена с каждой предыдущей точкой, кроме самой первой и предыдущей. То есть каждая новая точка добавляет один новый отрезок. Количество отрезков можно определить по формуле \(n(\text{отрезки}) = n(\text{точки}) - 2\), где \(n(\text{точки})\) - это общее количество точек.

В данной задаче у нас есть 10 точек, поэтому количество отрезков, соединяющих их, будет \(10 - 2 = 8\).

Теперь, чтобы количество пересекаемых отрезков было 21, прямая линия должна пересечь каждый отрезок более чем по два раза. То есть для каждой точки на прямой линии, кроме точек на концах линии, должно быть по две пересечения.

Однако, у нас всего 10 точек, и два пересечения для каждой точки не позволят прямой линии пересечь 21 отрезок. Поэтому решение для задачи (а) - нет, прямая линия не может пересечь ровно 21 отрезок.

Теперь перейдем к второй задаче.

б) Аналогичным образом, чтобы количество пересекаемых отрезков было 20, прямая линия должна пересекать каждый отрезок по два раза.

Мы знаем, что у нас есть 10 точек, поэтому максимальное количество отрезков, соединяющих их, равно 8.

Теперь, чтобы количество пересекаемых отрезков было 20, прямая линия должна пересекать каждый отрезок по два раза, кроме двух отрезков, которые будут иметь только одно пересечение.

Однако, у нас только 8 отрезков, которые можно пересекать, и два из них могут быть пересечены только один раз. Следовательно, невозможно пересечь ровно 20 отрезков.

Так что решение для задачи (б) - нет, прямая линия не может пересечь ровно 20 отрезков.

Если у вас осталось только 10 минут, я бы рекомендовал продолжить выполнение задач и сосредоточиться на тех задачах, которые вы можете выполнить более быстро. Удачи!