а) Какую силу натяжения нити имеет шарик, когда его отклоняют на угол 60° от положения равновесия и отпускают? б) Какую

а) Чтобы найти силу натяжения нити \( T \), когда шарик отклоняется на угол 60° от положения равновесия и отпускают, мы можем использовать закон Гука и второй закон Ньютона для движения по кругу.

Известно, что сила натяжения нити является центростремительной силой, направленной к центру окружности. Таким образом, мы можем записать \( T = \frac{{mv^2}}{r} \), где \( m \) - масса шарика, \( v \) - его скорость, а \( r \) - радиус окружности.

При отклонении шарика на угол 60° от положения равновесия, расстояние от центра окружности до шарика равно \( r = L \cdot \sin(60°) \), где \( L \) - длина нити. В нашем случае \( L = 1.6 \) м.

Также известно, что скорость шарика в положении равновесия равна 0, так как он находится в крайней точке своего движения. Следовательно, при этом положении \( T = \frac{{mv^2}}{r} = \frac{{m \cdot 0^2}}{r} = 0 \).

После отпускания шарика он начинает движение вниз, его потенциальная энергия превращается в кинетическую, и он достигнет наименьшей точки своего движения. Затем он начнет двигаться вверх, его кинетическая энергия превратится в потенциальную, и он снова достигнет положения равновесия.

Таким образом, когда шарик отклоняется на угол 60° от положения равновесия и отпускается, сила натяжения нити будет равна 0.

б) Чтобы найти скорость шарика при прохождении положения равновесия, если сила натяжения нити составляет 1,25 H, мы можем использовать закон сохранения механической энергии.

Известно, что механическая энергия системы, состоящей из шарика и нити, будет постоянной. Мы можем записать это как \( E_1 = E_2 \), где \( E_1 \) - механическая энергия в положении равновесия, \( E_2 \) - механическая энергия при прохождении положения равновесия.

Механическая энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии. В положении равновесия потенциальная энергия равна максимальной, а кинетическая энергия равна 0. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна 0, а кинетическая энергия равна максимальной.

Потенциальная энергия в положении равновесия определяется как \( mgh \), где \( m \) - масса шарика, \( g \) - ускорение свободного падения (в данном случае примем его за 9,8 м/с^2), а \( h \) - высота шарика относительно положения равновесия. Так как шарик находится в крайней точке своего движения, \( h = L \).

Потенциальная энергия составляет \( E_1 = m \cdot g \cdot L \).

Потенциальная энергия при прохождении положения равновесия равна 0.

Кинетическая энергия в положении равновесия равна 0.

Кинетическая энергия при прохождении положения равновесия составляет \( E_2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \), где \( v \) - скорость шарика при прохождении положения равновесия.

Теперь мы можем записать \( E_1 = E_2 \) и решить уравнение относительно \( v \):

\[ m \cdot g \cdot L = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Отсюда мы можем найти \( v \):

\[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot L} \]

Подставляя значения \( g = 9.8 \) м/с^2 и \( L = 1.6 \) м, мы можем вычислить скорость шарика:

\[ v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.6} \approx 6.25 \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорость шарика при прохождении положения равновесия составит около 6.25 м/с.

в) Чтобы найти угол отклонения нити от вертикали, если шарик будет вращаться с той же скоростью в горизонтальной плоскости, мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Известно, что при вращении шарика с радиусом \( r \) на горизонтальной плоскости момент импульса является постоянным. Мы можем записать это как \( L_1 = L_2 \), где \( L_1 \) - момент импульса в положении равновесия, \( L_2 \) - момент импульса при вращении в горизонтальной плоскости.

Момент импульса определяется как произведение массы и скорости на радиус вращения: \( L = m \cdot v \cdot r \).

В положении равновесия мы задали \( T = 0 \), поэтому \( L_1 = 0 \).

При вращении в горизонтальной плоскости с той же скоростью, сила натяжения нити будет направлена в центр окружности, и мы можем использовать \( T = \frac{{mv^2}}{r} \).

Теперь мы можем записать \( L_1 = L_2 \) и решить уравнение относительно угла отклонения \( \theta \):

\[ m \cdot v \cdot r = m \cdot v^2 \cdot \sin(\theta) \cdot r \]

Сокращая \( m \) и \( r \), получим:

\[ v = v \cdot \sin(\theta) \]
\[ 1 = \sin(\theta) \]

Отсюда мы можем найти угол отклонения нити от вертикали:

\[ \theta = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \]

Таким образом, нить отклонится под углом \( \frac{\pi}{2} \) от вертикали, если шарик будет вращаться с той же скоростью в горизонтальной плоскости.