а) Какой вектор, начало и конец которого являются вершинами куба ABCDA1B1C1D1, равен сумме векторов BA, BC и BB1?

а) Чтобы найти вектор, равный сумме векторов BA, BC и BB1, нам нужно сложить эти три вектора по правилам векторной алгебры.

Давайте начнем с приведения векторов к общему началу и общему концу. Общим началом и концом является вершина A1 куба ABCDA1B1C1D1.

1. Следует обратить внимание, что вектор BA начинается в вершине A и заканчивается в вершине B, поэтому его можно записать как \(\overrightarrow{BA}\).

2. Вектор BC начинается в вершине B и заканчивается в вершине C, поэтому его можно записать как \(\overrightarrow{BC}\).

3. Вектор BB1 начинается в вершине B и заканчивается в вершине B1, поэтому его можно записать как \(\overrightarrow{BB1}\).

Теперь мы можем сложить эти векторы:

\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB1}\)

Мы можем заметить, что векторы имеют общую начальную и конечную точки, поэтому мы можем применить коммутативный закон и ассоциативный закон сложения векторов.

\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B}\)

Теперь мы можем использовать закон противоположных векторов, который говорит, что вектор, обратный к вектору \(\overrightarrow{AB}\), имеет ту же длину, но противоположное направление. Аналогично, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{B1B}\) имеют противоположные векторы, имеющие ту же длину, но противоположное направление.

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AB1})\)

Теперь мы можем использовать ассоциативный закон и коммутативный закон для сложения векторов, чтобы перегруппировать их.

\(\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AB1}) = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AB1})\)

Здесь мы видим, что \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}\) равно нулевому вектору, так как вектор минус сам с собой дает нулевой вектор.

\(\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AB1}) = \mathbf{0} + (-\overrightarrow{AB1})\)

Таким образом, получаем, что вектор, равный сумме векторов BA, BC и BB1, равен \(-\overrightarrow{AB1}\).

б) Чтобы найти вектор, равный сумме векторов B1A1, BC и B1B, мы можем применить тот же метод, что и в пункте (а).

Используя общую начальную и конечную точку, которой является вершина A1 куба ABCDA1B1C1D1:

\(\overrightarrow{B1A1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B} = \overrightarrow{A1B1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B}\)

Применяя противоположные векторы и перегруппировку:

\(\overrightarrow{A1B1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B} = (\overrightarrow{A1B1} - \overrightarrow{A1B1}) + \overrightarrow{BC}\)

Снова получаем нулевой вектор:

\(\overrightarrow{A1B1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B1B} = \mathbf{0} + \overrightarrow{BC}\)

Таким образом, получаем, что вектор, равный сумме векторов B1A1, BC и B1B, равен \(\overrightarrow{BC}\).