а) Какой коэффициент у монома x^6 в многочлене P(x) = (x + 2)^6? б) Какой коэффициент у монома x в многочлене P(x

Давайте решим задачу по порядку:

а) Для определения коэффициента монома $x^6$ в многочлене $P(x)=(x+2{)}^6$ нам понадобится использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:
$$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n{y}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^0{y}^n$$
где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

В нашем случае у нас многочлен $P(x)=(x+2{)}^6$, следовательно $x=x$ и $y=2$, а также $n=6$. Заменим значения в формуле бинома Ньютона:

$$P(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})x^5\cdot 2^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})x^4\cdot 2^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})x^3\cdot 2^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})x^2\cdot 2^4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})x^1\cdot 2^5+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})x^0\cdot 2^6$$

Теперь найдем коэффициент при мономе $x^6$. Мы видим, что $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0=x^6$. Следовательно, коэффициентом при мономе $x^6$ является число 1.

б) Аналогично, для определения коэффициента монома $x$ в многочлене $P(x)=(x+2{)}^6$ мы используем формулу бинома Ньютона с параметрами $x=x$, $y=2$ и $n=6$. Заменим значения в формуле:

$$P(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})x^5\cdot 2^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})x^4\cdot 2^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})x^3\cdot 2^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})x^2\cdot 2^4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})x^1\cdot 2^5+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})x^0\cdot 2^6$$

Теперь найдем коэффициент при мономе $x$. Обратим внимание, что $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})x^5\cdot 2^1=6x^5$. Таким образом, коэффициентом при мономе $x$ является число 6.

в) Опять же, используя формулу бинома Ньютона с $x=x$, $y=2$ и $n=6$, мы заменяем значения в формуле:

$$P(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})x^5\cdot 2^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})x^4\cdot 2^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})x^3\cdot 2^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})x^2\cdot 2^4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})x^1\cdot 2^5+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})x^0\cdot 2^6$$

Теперь найдем коэффициент при мономе $x^3$. Обратим внимание, что $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})x^3\cdot 2^3=40x^3$. Значит, коэффициентом при мономе $x^3$ является число 40.

г) Для определения свободного члена в многочлене $P(x)=(x+2{)}^6$ мы вновь используем формулу бинома Ньютона, где $x=x$, $y=2$ и $n=6$:

$$P(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})x^5\cdot 2^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})x^4\cdot 2^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})x^3\cdot 2^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})x^2\cdot 2^4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})x^1\cdot 2^5+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})x^0\cdot 2^6$$

Свободный член представлен слагаемым $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})x^6\cdot 2^0=64$. Таким образом, свободным членом в многочлене $P(x)=(x+2{)}^6$ является число 64.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как определить коэффициенты мономов и свободный член в заданном многочлене. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!