а) Какой коэффициент у монома x^6 в многочлене P(x) = (x + 2)^6? б) Какой коэффициент у монома x в многочлене P(x

Давайте решим задачу по порядку:

а) Для определения коэффициента монома \(x^6\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) нам понадобится использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:
\[
(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n y^0 + \binom{n}{1}x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2} y^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} x^1 y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0 y^n
\]
где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

В нашем случае у нас многочлен \(P(x) = (x + 2)^6\), следовательно \(x = x\) и \(y = 2\), а также \(n = 6\). Заменим значения в формуле бинома Ньютона:

\[
P(x) = \binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 + \binom{6}{1}x^5 \cdot 2^1 + \binom{6}{2}x^4 \cdot 2^2 + \binom{6}{3}x^3 \cdot 2^3 + \binom{6}{4}x^2 \cdot 2^4 + \binom{6}{5}x^1 \cdot 2^5 + \binom{6}{6}x^0 \cdot 2^6
\]

Теперь найдем коэффициент при мономе \(x^6\). Мы видим, что \(\binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 = x^6\). Следовательно, коэффициентом при мономе \(x^6\) является число 1.

б) Аналогично, для определения коэффициента монома \(x\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) мы используем формулу бинома Ньютона с параметрами \(x = x\), \(y = 2\) и \(n = 6\). Заменим значения в формуле:

\[
P(x) = \binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 + \binom{6}{1}x^5 \cdot 2^1 + \binom{6}{2}x^4 \cdot 2^2 + \binom{6}{3}x^3 \cdot 2^3 + \binom{6}{4}x^2 \cdot 2^4 + \binom{6}{5}x^1 \cdot 2^5 + \binom{6}{6}x^0 \cdot 2^6
\]

Теперь найдем коэффициент при мономе \(x\). Обратим внимание, что \(\binom{6}{1}x^5 \cdot 2^1 = 6x^5\). Таким образом, коэффициентом при мономе \(x\) является число 6.

в) Опять же, используя формулу бинома Ньютона с \(x = x\), \(y = 2\) и \(n = 6\), мы заменяем значения в формуле:

\[
P(x) = \binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 + \binom{6}{1}x^5 \cdot 2^1 + \binom{6}{2}x^4 \cdot 2^2 + \binom{6}{3}x^3 \cdot 2^3 + \binom{6}{4}x^2 \cdot 2^4 + \binom{6}{5}x^1 \cdot 2^5 + \binom{6}{6}x^0 \cdot 2^6
\]

Теперь найдем коэффициент при мономе \(x^3\). Обратим внимание, что \(\binom{6}{3}x^3 \cdot 2^3 = 40x^3\). Значит, коэффициентом при мономе \(x^3\) является число 40.

г) Для определения свободного члена в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) мы вновь используем формулу бинома Ньютона, где \(x = x\), \(y = 2\) и \(n = 6\):

\[
P(x) = \binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 + \binom{6}{1}x^5 \cdot 2^1 + \binom{6}{2}x^4 \cdot 2^2 + \binom{6}{3}x^3 \cdot 2^3 + \binom{6}{4}x^2 \cdot 2^4 + \binom{6}{5}x^1 \cdot 2^5 + \binom{6}{6}x^0 \cdot 2^6
\]

Свободный член представлен слагаемым \(\binom{6}{0}x^6 \cdot 2^0 = 64\). Таким образом, свободным членом в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) является число 64.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как определить коэффициенты мономов и свободный член в заданном многочлене. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!