А) Каково взаимное положение прямых EC и AD, если они проведены через вершину C квадрата ABCD, но не лежат в одной

А) Чтобы определить взаимное положение прямых EC и AD, проведенных через вершину C квадрата ABCD, не лежащих в одной плоскости, воспользуемся принципом трех перпендикуляров.

Для начала, представим себе квадрат ABCD в трехмерном пространстве, где плоскость ABCD параллельна плоскости XY, а стороны квадрата являются перпендикулярными векторами к этой плоскости.

Теперь представим прямую EC. Нам известно, что она проходит через вершину C и прямоходит через точку E, которая находится на стороне AB. Обозначим точку E как E(x, y, z), где x, y, z - координаты точки E в трехмерном пространстве.

Зная это, мы можем записать параметрическое уравнение прямой EC:

\[EC: \begin{cases} x = a + t \cdot (b - a) \\ y = c + t \cdot (d - c) \\ z = e + t \cdot (f - e) \end{cases}\]

Где a, b - координаты вершины C, c, d - координаты точки E на стороне AB, e, f - координаты точки E вне квадрата, и t - параметр, определяющий положение точки E на прямой EC.

Аналогично, представим прямую AD. Она проходит через вершину A и направлена на точку D. Обозначим точку D как D(x", y", z"), где x", y", z" - координаты точки D в трехмерном пространстве.

Таким образом, параметрическое уравнение прямой AD будет иметь вид:

\[AD: \begin{cases} x = a" + s \cdot (b" - a") \\ y = c" + s \cdot (d" - c") \\ z = e" + s \cdot (f" - e") \end{cases}\]

Где a", b" - координаты вершины A, c", d" - координаты точки D на противоположной стороне квадрата, e", f" - координаты точки D вне квадрата, и s - параметр, определяющий положение точки D на прямой AD.

Для взаимного положения прямых EC и AD надо определить, пересекаются ли они или параллельны. Для этого запишем систему уравнений и решим ее:

\[\begin{cases} x = a + t \cdot (b - a) \\ y = c + t \cdot (d - c) \\ z = e + t \cdot (f - e) \\ x = a" + s \cdot (b" - a") \\ y = c" + s \cdot (d" - c") \\ z = e" + s \cdot (f" - e") \end{cases}\]

Систему можно решить методом подстановки или методом исключения переменных, чтобы получить значения параметров t и s. Если система имеет решение, то прямые пересекаются. Если система не имеет решения, то прямые параллельны.

Б) Чтобы найти угол между прямыми EC и AD, зная значения двух углов (угол BEC равен 66°, а угол CBE равен 59°), используем свойство пересекающихся прямых.

Мы знаем, что угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем векторы направления для прямых EC и AD.

Вектор направления прямой EC можно найти, вычислив разность координат между любыми двумя точками на этой прямой. Используя координаты точек C и E, получим вектор направления для прямой EC:

\[\vec{EC} = (x - a, y - c, z - e)\]

Аналогично, для прямой AD:

\[\vec{AD} = (x" - a", y" - c", z" - e")\]

Теперь, чтобы найти угол между этими векторами, воспользуемся формулой скалярного произведения:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{AD}}{\lVert \vec{EC} \rVert \cdot \lVert \vec{AD} \rVert}\]

Где \(\theta\) - искомый угол между прямыми EC и AD, \(\vec{EC} \cdot \vec{AD}\) - скалярное произведение векторов, \(\lVert \vec{EC} \rVert\) и \(\lVert \vec{AD} \rVert\) - длины векторов.

Вставляя значения в формулу и решая ее, мы можем найти значение угла \(\theta\).