а) Какое количество различных фигур Петя может нарисовать на клеточной бумаге, состоящих из пяти клеток? б) Какое

Давайте решим каждую задачу последовательно.

а) Какое количество различных фигур Петя может нарисовать на клеточной бумаге, состоящих из пяти клеток?

Чтобы решить эту задачу, давайте подумаем о том, сколько вариантов у нас есть для каждой клетки на бумаге. Каждая клетка может быть либо пустой, либо заполненной. Таким образом, у нас есть два варианта для каждой клетки.

Теперь давайте посмотрим на общее количество клеток в фигуре. Мы знаем, что фигура состоит из пяти клеток. Таким образом, нам нужно умножить количество вариантов для каждой клетки (2) на само число клеток в фигуре (5).

\[2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32.\]

Таким образом, Петя может нарисовать 32 различных фигуры, состоящих из пяти клеток.

б) Какое количество фигурок следует попросить Петю нарисовать, чтобы быть уверенным, что среди них найдутся три одинаковые?

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться принципом Дирихле, который утверждает, что если n+1 или более объектов (в данном случае фигурок) распределены среди n ящиков (в данном случае различные фигурки), то хотя бы в одном из ящиков будет хотя бы два одинаковых объекта.

Таким образом, нам нужно определить минимальное количество фигурок, которые Петя должен нарисовать, чтобы среди них обязательно были три одинаковые.

Давайте рассмотрим несколько случаев:
- Если Петя нарисует 2 фигурки, то это не обязательно гарантирует наличие трех одинаковых фигурок.
- Если Петя нарисует 3 фигурки, то по принципу Дирихле среди них обязательно будет хотя бы одна пара одинаковых фигурок. Однако трех одинаковых фигурок это не гарантирует.
- Если Петя нарисует 4 фигурки, то по принципу Дирихле среди них обязательно будет хотя бы одна пара одинаковых фигурок. Однако трех одинаковых фигурок это тоже не гарантирует.
- Если Петя нарисует 5 фигурок, то по принципу Дирихле среди них обязательно будет хотя бы одна пара одинаковых фигурок. Однако трех одинаковых фигурок это все равно не гарантирует.
- Но если Петя нарисует 6 фигурок, то уже гарантированно будет хотя бы три одинаковые фигурки.

Таким образом, чтобы быть уверенным, что среди фигурок найдутся три одинаковые, Пете следует нарисовать не менее 6 фигурок.