А) Как найти значения x , удовлетворяющие уравнению 2cos^2(3pi/2+x)+√3sinx=0? Б) На каком интервале 5pi/2 найти

Хорошо, решим уравнение и найдем значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению.

а) Уравнение: \(2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin x=0\)

1. Заметим, что \(\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin^2x\), так как \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\sin x\).
Теперь уравнение принимает вид: \(2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=0\).

2. Факторизуем уравнение. Вынесем \(\sin x\) как общий множитель: \(\sin x(2\sin x+\sqrt{3})=0\).

3. Получаем два возможных значения для \(\sin x\): \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

4. Решим каждое уравнение отдельно:

a) Для \(\sin x = 0\), находим значения \(x\), удовлетворяющие условию. В данном случае, это \(x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots\)

обоснование/пояснение: \(\sin x\) равен нулю, когда \(x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots\) потому что это значения, при которых синус-функция равна нулю.

b) Для \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), находим значения \(x\), удовлетворяющие условию. В данном случае, это \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

обоснование/пояснение: \(\sin x\) равен \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), когда \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\), потому что это значения, при которых синус-функция равна \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin x=0\), равны \(x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots\) и \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

б) Чтобы найти интервал, на котором найдены все корни данного уравнения, мы должны рассмотреть значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению на указанном интервале.

В данном случае, интервал \(5\pi/2\) означает ограничение на \(x\) в пределах от \(5\pi/2\) до \((5\pi/2)+2\pi\).

Подставим значения из данного интервала в уравнение и убедимся, что они удовлетворяют уравнению. Таким образом, \(x=5\pi/2\) не является корнем данного уравнения.

Таким образом, корни данного уравнения на интервале \(5\pi/2\) можно найти при \(x=\frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\).

обоснование/пояснение: Рассмотрим каждое значение \(x\) в интервале \(\left[\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}+2\pi\right)\). Мы подставляем каждое значение \(x\) обратно в уравнение и проверяем, удовлетворяют ли они уравнению.

Таким образом, корни данного уравнения на интервале \(5\pi/2\) можно найти при \(x=\frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\).