А) Как найти значения x , удовлетворяющие уравнению 2cos^2(3pi/2+x)+√3sinx=0? Б) На каком интервале 5pi/2 найти

Хорошо, решим уравнение и найдем значения $x$, которые удовлетворяют данному уравнению.

а) Уравнение: $2{\cos }^2(\frac{3\pi }{2}+x)+\sqrt{3}\sin x=0$

1. Заметим, что ${\cos }^2(\frac{3\pi }{2}+x)={\sin }^{2}x$, так как $\cos (\frac{3\pi }{2}+x)=-\sin x$.
Теперь уравнение принимает вид: $2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=0$.

2. Факторизуем уравнение. Вынесем $\sin x$ как общий множитель: $\sin x(2\sin x+\sqrt{3})=0$.

3. Получаем два возможных значения для $\sin x$: $\sin x=0$ или $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Решим каждое уравнение отдельно:

a) Для $\sin x=0$, находим значения $x$, удовлетворяющие условию. В данном случае, это $x=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$

обоснование/пояснение: $\sin x$ равен нулю, когда $x=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$ потому что это значения, при которых синус-функция равна нулю.

b) Для $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, находим значения $x$, удовлетворяющие условию. В данном случае, это $x=\frac{11\pi }{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

обоснование/пояснение: $\sin x$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, когда $x=\frac{11\pi }{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$, потому что это значения, при которых синус-функция равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, значения $x$, удовлетворяющие уравнению $2{\cos }^2(\frac{3\pi }{2}+x)+\sqrt{3}\sin x=0$, равны $x=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$ и $x=\frac{11\pi }{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

б) Чтобы найти интервал, на котором найдены все корни данного уравнения, мы должны рассмотреть значения $x$, которые удовлетворяют уравнению на указанном интервале.

В данном случае, интервал $5\pi /2$ означает ограничение на $x$ в пределах от $5\pi /2$ до $(5\pi /2)+2\pi$.

Подставим значения из данного интервала в уравнение и убедимся, что они удовлетворяют уравнению. Таким образом, $x=5\pi /2$ не является корнем данного уравнения.

Таким образом, корни данного уравнения на интервале $5\pi /2$ можно найти при $x=\frac{11\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$.

обоснование/пояснение: Рассмотрим каждое значение $x$ в интервале $[\frac{5\pi }{2},\frac{5\pi }{2}+2\pi )$. Мы подставляем каждое значение $x$ обратно в уравнение и проверяем, удовлетворяют ли они уравнению.

Таким образом, корни данного уравнения на интервале $5\pi /2$ можно найти при $x=\frac{11\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$.