а) Изобразите уравнение: 8sin⁴x+10sin²x-3=0 б) Определите все значения x, которые являются корнями уравнения

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

а) Для изображения уравнения 8sin⁴x+10sin²x-3=0, нам нужно заменить \(\sin^2 x\) на \(t\). Обозначим это новое уравнение как \(8t^2 + 10t - 3 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 8\), \(b = 10\) и \(c = -3\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196\).

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два корня для этого квадратного уравнения.

Используем формулу квадратного корня:
\(t = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Рассчитаем значения \(t\):
\(t_1 = \frac{{-10 + \sqrt{196}}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{-10 + 14}}{{16}} = \frac{{4}}{{16}} = \frac{{1}}{{4}}\).

\(t_2 = \frac{{-10 - \sqrt{196}}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{-10 - 14}}{{16}} = \frac{{-24}}{{16}} = \frac{{-3}}{{2}}\).

Теперь вернемся к исходному уравнению и заменим \(t\) обратно на \(\sin^2 x\):

\(\sin^2 x = \frac{{1}}{{4}}\) и \(\sin^2 x = \frac{{-3}}{{2}}\).

Мы знаем, что \(\sin^2 x\) - это квадрат синуса \(x\), который всегда лежит между 0 и 1, поэтому \(\frac{{-3}}{{2}}\) не подходит, так как это значение выходит за пределы допустимого диапазона.

Теперь найдем значения \(x\), соответствующие уравнению \(\sin^2 x = \frac{{1}}{{4}}\).

Добавим \(\pi\) к каждому решению, так как синус является периодической функцией с периодом \(2\pi\).

Решение 1: \(\sin^2 x = \frac{{1}}{{4}}\). Возьмём квадратный корень от обеих частей уравнения:
\(\sin x = \pm \frac{{1}}{{2}}\).
\(x = \frac{{\pi}}{{6}} + 2\pi k\) или \(x = \frac{{5\pi}}{{6}} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, значения \(x\) равны \(\frac{{\pi}}{{6}}, \frac{{5\pi}}{{6}}\) и все значения полученные добавлением \(2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Б) Теперь, чтобы определить все значения \(x\), которые являются корнями уравнения и принадлежат интервалу \([-7\pi/2, -2\pi]\), нам нужно проверить, какие из наших решений попадают в этот интервал.

Исключим разветвление \(k\) построением неравенства с ограничением на \(x\):
\(-7\pi/2 \leq x \leq -2\pi\).

Давайте начнем с первого решения: \(x = \frac{{\pi}}{{6}} + 2\pi k\). Подставим это значение в неравенство:

\(-7\pi/2 \leq \frac{{\pi}}{{6}} + 2\pi k \leq -2\pi\).

Упростим это неравенство, учитывая, что \(\pi\) можно представить как \(\frac{{6\pi}}{{6}}\):

\(-7\pi/2 \leq \frac{{\pi}}{{6}}(1 + 12k) \leq -2\pi\).

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: \(k\) - целое число, такое что \(1 + 12k < 0\):
В этом случае, \(-7\pi/2 \leq \frac{{\pi}}{{6}}(1 + 12k)\) не выполняется. Поэтому это значение \(x\) не является корнем уравнения в заданном интервале.

Случай 2: \(k\) - целое число, такое что \(1 + 12k > 0\):
В этом случае, \(\frac{{\pi}}{{6}}(1 + 12k) \leq -2\pi\) выполняется. Поэтому это значение \(x\) является корнем уравнения в заданном интервале.

Теперь рассмотрим второе решение: \(x = \frac{{5\pi}}{{6}} + 2\pi k\). Подставим это значение в неравенство:

\(-7\pi/2 \leq \frac{{5\pi}}{{6}} + 2\pi k \leq -2\pi\).

Упростим это неравенство, учитывая, что \(\pi\) можно представить как \(\frac{{12\pi}}{{12}}\):

\(-7\pi/2 \leq \frac{{5\pi}}{{6}}(1 + 12k) \leq -2\pi\).

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: \(k\) - целое число, такое что \(1 + 12k < 0\):
В этом случае, \(-7\pi/2 \leq \frac{{5\pi}}{{6}}(1 + 12k)\) выполняется. Поэтому это значение \(x\) является корнем уравнения в заданном интервале.

Случай 2: \(k\) - целое число, такое что \(1 + 12k > 0\):
В этом случае, \(\frac{{5\pi}}{{6}}(1 + 12k) \leq -2\pi\) не выполняется. Поэтому это значение \(x\) не является корнем уравнения в заданном интервале.

Итак, все значения \(x\) равны \(\frac{{\pi}}{{6}} + 2\pi k\) и \(\frac{{5\pi}}{{6}} + 2\pi k\) для целых значений \(k\), таких что \(1 + 12k > 0\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас!