А) Если сумма чисел a и b равна 9, а их произведение равно 8, то какие натуральные числа могут представлять a

а) Для решения данной задачи нам нужно найти два числа a и b, сумма которых равна 9, а произведение равно 8. Можно использовать систему уравнений для этого.

Пусть a - первое число, а b - второе число.
Из условия задачи у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
a + b &= 9 \\
a \cdot b &= 8
\end{align*}
\]

Мы можем решить первое уравнение относительно одной переменной, например, a:

\[
a = 9 - b
\]

Теперь мы можем заменить a во втором уравнении:

\[
(9 - b) \cdot b = 8
\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[
b^2 - 9b + 8 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью метода факторизации.
Мы ищем два числа, произведение которых равно 8, а сумма -9. Эти числа -1 и -8.

\[
(b - 1)(b - 8) = 0
\]

Отсюда получаем два возможных значения для b: b = 1 и b = 8.

Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения a:

\[
\begin{align*}
a + 1 &= 9 \\
a &= 8
\end{align*}
\]

или

\[
\begin{align*}
a + 8 &= 9 \\
a &= 1
\end{align*}
\]

Итак, два натуральных числа, которые могут представлять a и b, это a = 1, b = 8 или a = 8, b = 1.

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса: может ли значение выражения \(a^3 - b^3\) быть натуральным числом?
Подставим значения a = 1 и b = 8 в данное выражение:

\[
1^3 - 8^3 = 1 - 512 = -511
\]

Результат отрицательный и не является натуральным числом. Следовательно, значение выражения \(a^3 - b^3\) не может быть натуральным числом.

б) Теперь рассмотрим вторую задачу. Мы знаем, что разность чисел a и b равна 9, а их произведение равно 10.

Пусть a - первое число, а b - второе число.
Из условия задачи у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
a - b &= 9 \\
a \cdot b &= 10
\end{align*}
\]

Мы можем решить первое уравнение относительно одной переменной, например, a:

\[
a = 9 + b
\]

Теперь мы можем заменить a во втором уравнении:

\[
(9 + b) \cdot b = 10
\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[
b^2 + 9b + 10 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью метода факторизации.
Мы ищем два числа, произведение которых равно 10, а сумма 9. Эти числа 1 и 10.

\[
(b + 1)(b + 10) = 0
\]

Отсюда получаем два возможных значения для b: b = -1 и b = -10.

Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения a:

\[
\begin{align*}
a - (-1) &= 9 \\
a &= 8
\end{align*}
\]

или

\[
\begin{align*}
a - (-10) &= 9 \\
a &= -1
\end{align*}
\]

Итак, два натуральных числа, которые могут представлять a и b, это a = 8, b = -1 или a = -1, b = -10.

Теперь рассмотрим вопрос о значении выражения \(a^3 + b^3\).
Подставим значения a = 8 и b = -1 в данное выражение:

\[
8^3 + (-1)^3 = 512 - 1 = 511
\]

Результат равен 511, что является натуральным числом.

в) В третьей задаче дано, что разность между a и b равна 52, а их произведение равно 1260.

Мы можем использовать данную информацию и тождество \((a-b)^3=a^3-3ab(a-b)-b^3\) для нахождения значения выражения \(2(a^3 - b^3)\).

Подставим значения a = 52 и b = 0 в данное выражение:

\[
2(52^3 - 0^3)
\]

Упростим выражение:

\[
2(140608 - 0) = 2 \cdot 140608 = 281216
\]

Таким образом, значение выражения \(2(a^3 - b^3)\) равно 281216.