а) Если середины отрезков AM, DM, BN, CN не лежат на одной прямой, то можно утверждать, что четырехугольник с вершинами

Для начала, давайте разберемся с первой частью задачи, а именно, утверждением о параллелограмме с вершинами в серединах отрезков AM, DM, BN, CN.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Итак, у нас есть четыре отрезка AM, DM, BN, CN, и мы знаем, что их середины не лежат на одной прямой. Предположим, что это не параллелограмм, то есть противоположные стороны не равны или не параллельны.

Рассмотрим отрезок AM. Его середина обозначена как M. Аналогично, середину отрезка DM обозначим как N, отрезка BN как P, а отрезка CN как Q.

Предположим, что параллелограмм не существует. Тогда стороны AM и NP не равны или не параллельны. Это значит, что треугольники AMN и BNP должны быть неравными.

Рассмотрим теперь треугольники AMN и BNP более подробно. В этих треугольниках стороны AM и NP соответственно равны пополам сторон BN и CM (так как M и N - середины отрезков BN и CM).

Таким образом, стороны AM и NP идентичны, а значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по свойству равных треугольников). Однако, это противоречит нашему предположению о неравенстве треугольников AMN и BNP.

Таким образом, предположение о существовании непараллелограмма с вершинами в серединах отрезков AM, DM, BN, CN неверно! Мы доказали, что если середины отрезков AM, DM, BN, CN не лежат на одной прямой, то четырехугольник с этими вершинами является параллелограммом.

Перейдем теперь ко второй части задачи. Для решения этой части задачи, нам требуется знать значения сторон AD и BC, а также угол между прямыми BC и AD.

По условию задачи, AD = 6 и BC = 8. Осталось найти значение угла между прямыми BC и AD.

Нам известно, что противоположные углы параллелограмма равны. Так как вершины параллелограмма - это середины сторон AD и BC, у нас есть следующие равенства углов:

\(\angle ABC = \angle ADC\) и \(\angle ADB = \angle ACB\)

Из рисунка мы видим, что угол между прямыми BC и AD - это угол BDA.

Таким образом, у нас есть следующее равенство углов:

\(\angle BDA = \angle ACB\)

Для нахождения площади параллелограмма, нам необходимо найти значение угла ACB.

К сожалению, в условии задачи не указано значение этого угла. Если вы сможете предоставить его значение, я смогу продолжить решение задачи и найти площадь параллелограмма с вершинами в серединах отрезков AM, DM.