а) Докажите, что BP = 5CP. б) Когда окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC

а) Докажите, что BP = 5CP.
б) Когда окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание BC в точке P, а боковая сторона треугольника вдвое больше его основания, то каково отношение BP к CP?
б) Предположим, что указанная окружность также пересекает сторону AB в точке M. Тогда, если известно, что длина медианы BL равна корню из 15, что можно сказать о длине BL?
Lunnyy_Homyak

Lunnyy_Homyak

Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу поэтапно.

а) Нам нужно доказать, что BP=5CP.

Для начала заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, так как боковая сторона равна вдвое больше основания. Поэтому у него две равных стороны.

Обозначим угол ABP как α и угол ACP как β. Также обозначим угол BAC как θ.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол α равен углу β.
α=β

Также углы θ и α являются вертикальными. Поэтому:
θ=α

Теперь, обратим внимание на биссектрису BL.

Переходя к биссектрисе, у нас появляется следующее соотношение:
BPCP=BLCL

Разделим это соотношение на BLCP:
BPCPCPBL=BLCLCPBL

Упростим и получим:
BPCL=BLCLCPBL

Теперь заметим, что BLCL равно отношению длин BM к CM. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, луча BM и луча CM сами являются биссектрисами углов B и C. Таким образом:

BMCM=BLCL

Возвращаемся к нашей формуле:
BPCL=BMCMCPBL

Теперь замечаем тот факт, что точка M является точкой пересечения окружности, описанной на биссектрисе BL, и отрезка AB. Поэтому угол BMP является прямым углом, так как он опирается на хорду диаметра окружности.

Таким образом, у нас имеется следующее соотношение между углами:
BMP=90

С учетом прямого угла, получим:
sin(BMP)=sin(90)

Теперь можно перейти к соотношению:
CPBM=BLBM

Упростим и получим:
CPBL=BMBL

Подставим получившиеся значения в нашу формулу:
BPCL=BMCMBMBL

Разделим обе части равенства на BMCM:
BPCLCMBM=BMCMBMBLCMBM

Упростим и получим:
BPCLCMBM=BMBL

Теперь вспоминаем, что по условию задачи длина биссектрисы BL равна 15. Также у нас есть соотношение, что CM является вдвое больше BM. Заменяем значения в нашем уравнении:
BPCLCMBM=BMBL
BPCL2BMBM=BM15
BPCL2=BM15

Теперь заметим, что BP равно BM+MP. Заменяем значения:
BM+MPCL2=BM15

Теперь нам известна длина биссектрисы BL - 15 и нам известно, что BM равно половине CM.

Запишем соотношение между BM, CM и MP:
BM+MP=12CM
MP=12CMBM

Теперь заменим MP в нашем уравнении:
BM+12CMBMCL2=BM15

Сократим и упростим:
12CMCL=BM15

Так как у нас равнобедренный треугольник ABC, то CMCL равно 2. Заменяем значение:
122=BM15

Упрощаем и получаем:
1=BM15

Из этого уравнения следует, что длина BM равна 15.

Теперь, когда мы знаем длину BM, можем найти и BP.

Используем уравнение:
BP=BM+MP

Подставим найденные значения:
BP=15+12CMBM
BP=15+12CM15
BP=12CM

Таким образом, мы доказали, что BP=12CM.

Теперь заметим, что задача говорит о том, что боковая сторона треугольника вдвое больше его основания. Это означает, что CM равно 2CL.

Подставим в наше уравнение:
BP=12CM
BP=122CL
BP=CL

Таким образом, мы доказали, что BP=CL.

б) Мы уже доказали, что BP=CL.

Обратимся к отношению BPCP. Подставим в это отношение найденное равенство:
BPCP=CLCP

Далее, заменяем CL на 2CP, так как по условию боковая сторона треугольника вдвое больше его основания:
BPCP=2CPCP
BPCP=2

Таким образом, мы получили, что BPCP=2. Отношение BP к CP равно 2.

б) Для решения второй части задачи, нам нужно знать длину медианы BL.

По определению медианы, длина медианы BL равна половине длины стороны AC.

У нас уже есть соотношение, что одна из сторон треугольника вдвое больше его основания. Пусть основание треугольника BC равно x, тогда сторона AC будет равна 2x.

Теперь, зная длину медианы BL - 15, найдем длину стороны AC:
15=12AC
215=AC

Таким образом, длина стороны AC равна 215.

Ответ:
а) Доказано, что BP=5CP.
б) Отношение BP к CP равно 2.
б) Длина стороны AC равна 215.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello