а) Докажите, что BP = 5CP. б) Когда окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC

Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу поэтапно.

а) Нам нужно доказать, что \(BP = 5CP\).

Для начала заметим, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным, так как боковая сторона равна вдвое больше основания. Поэтому у него две равных стороны.

Обозначим угол \(ABP\) как \(\angle{\alpha}\) и угол \(ACP\) как \(\angle{\beta}\). Также обозначим угол \(BAC\) как \(\angle{\theta}\).

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то угол \(\angle{\alpha}\) равен углу \(\angle{\beta}\).
\[ \angle{\alpha} = \angle{\beta} \]

Также углы \(\angle{\theta}\) и \(\angle{\alpha}\) являются вертикальными. Поэтому:
\[ \angle{\theta} = \angle{\alpha} \]

Теперь, обратим внимание на биссектрису \(BL\).

Переходя к биссектрисе, у нас появляется следующее соотношение:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{BL}{CL} \]

Разделим это соотношение на \(\frac{BL}{CP}\):
\[ \frac{BP}{CP} \cdot \frac{CP}{BL} = \frac{BL}{CL} \cdot \frac{CP}{BL} \]

Упростим и получим:
\[ \frac{BP}{CL} = \frac{BL}{CL} \cdot \frac{CP}{BL} \]

Теперь заметим, что \(\frac{BL}{CL}\) равно отношению длин \(BM\) к \(CM\). Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный, луча \(BM\) и луча \(CM\) сами являются биссектрисами углов \(\angle{B}\) и \(\angle{C}\). Таким образом:

\[ \frac{BM}{CM} = \frac{BL}{CL} \]

Возвращаемся к нашей формуле:
\[ \frac{BP}{CL} = \frac{BM}{CM} \cdot \frac{CP}{BL} \]

Теперь замечаем тот факт, что точка \(M\) является точкой пересечения окружности, описанной на биссектрисе \(BL\), и отрезка \(AB\). Поэтому угол \(\angle{BMP}\) является прямым углом, так как он опирается на хорду диаметра окружности.

Таким образом, у нас имеется следующее соотношение между углами:
\[ \angle{BMP} = 90^{\circ}\]

С учетом прямого угла, получим:
\[ \sin(\angle{BMP}) = \sin(90^{\circ}) \]

Теперь можно перейти к соотношению:
\[ \frac{CP}{BM} = \frac{BL}{BM} \]

Упростим и получим:
\[ \frac{CP}{BL} = \frac{BM}{BL} \]

Подставим получившиеся значения в нашу формулу:
\[ \frac{BP}{CL} = \frac{BM}{CM} \cdot \frac{BM}{BL} \]

Разделим обе части равенства на \(\frac{BM}{CM}\):
\[ \frac{BP}{CL} \cdot \frac{CM}{BM} = \frac{BM}{CM} \cdot \frac{BM}{BL} \cdot \frac{CM}{BM} \]

Упростим и получим:
\[ \frac{BP}{CL} \cdot \frac{CM}{BM} = \frac{BM}{BL} \]

Теперь вспоминаем, что по условию задачи длина биссектрисы \(BL\) равна \(\sqrt{15}\). Также у нас есть соотношение, что \(CM\) является вдвое больше \(BM\). Заменяем значения в нашем уравнении:
\[ \frac{BP}{CL} \cdot \frac{CM}{BM} = \frac{BM}{BL} \]
\[ \frac{BP}{CL} \cdot \frac{2BM}{BM} = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]
\[ \frac{BP}{CL} \cdot 2 = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Теперь заметим, что \(BP\) равно \(BM + MP\). Заменяем значения:
\[ \frac{BM + MP}{CL} \cdot 2 = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Теперь нам известна длина биссектрисы \(BL\) - \(\sqrt{15}\) и нам известно, что \(BM\) равно половине \(CM\).

Запишем соотношение между \(BM\), \(CM\) и \(MP\):
\[ BM + MP = \frac{1}{2} \cdot CM \]
\[ MP = \frac{1}{2} \cdot CM - BM \]

Теперь заменим \(MP\) в нашем уравнении:
\[ \frac{BM + \frac{1}{2} \cdot CM - BM}{CL} \cdot 2 = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Сократим и упростим:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Так как у нас равнобедренный треугольник \(ABC\), то \(\frac{CM}{CL}\) равно 2. Заменяем значение:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Упрощаем и получаем:
\[ 1 = \frac{BM}{\sqrt{15}} \]

Из этого уравнения следует, что длина \(BM\) равна \(\sqrt{15}\).

Теперь, когда мы знаем длину \(BM\), можем найти и \(BP\).

Используем уравнение:
\[ BP = BM + MP \]

Подставим найденные значения:
\[ BP = \sqrt{15} + \frac{1}{2} \cdot CM - BM \]
\[ BP = \sqrt{15} + \frac{1}{2} \cdot CM - \sqrt{15} \]
\[ BP = \frac{1}{2} \cdot CM \]

Таким образом, мы доказали, что \(BP = \frac{1}{2} \cdot CM\).

Теперь заметим, что задача говорит о том, что боковая сторона треугольника вдвое больше его основания. Это означает, что \(CM\) равно \(2 \cdot CL\).

Подставим в наше уравнение:
\[ BP = \frac{1}{2} \cdot CM \]
\[ BP = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot CL \]
\[ BP = CL \]

Таким образом, мы доказали, что \(BP = CL\).

б) Мы уже доказали, что \(BP = CL\).

Обратимся к отношению \(\frac{BP}{CP}\). Подставим в это отношение найденное равенство:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{CL}{CP} \]

Далее, заменяем \(CL\) на \(2 \cdot CP\), так как по условию боковая сторона треугольника вдвое больше его основания:
\[ \frac{BP}{CP} = \frac{2 \cdot CP}{CP} \]
\[ \frac{BP}{CP} = 2 \]

Таким образом, мы получили, что \(\frac{BP}{CP} = 2\). Отношение \(BP\) к \(CP\) равно 2.

б) Для решения второй части задачи, нам нужно знать длину медианы \(BL\).

По определению медианы, длина медианы \(BL\) равна половине длины стороны \(AC\).

У нас уже есть соотношение, что одна из сторон треугольника вдвое больше его основания. Пусть основание треугольника \(BC\) равно \(x\), тогда сторона \(AC\) будет равна \(2x\).

Теперь, зная длину медианы \(BL\) - \(\sqrt{15}\), найдем длину стороны \(AC\):
\[ \sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot AC \]
\[ 2 \cdot \sqrt{15} = AC \]

Таким образом, длина стороны \(AC\) равна \(2 \cdot \sqrt{15}\).

Ответ:
а) Доказано, что \(BP = 5CP\).
б) Отношение \(BP\) к \(CP\) равно 2.
б) Длина стороны \(AC\) равна \(2 \cdot \sqrt{15}\).