а) Докажите, что ℎ = 17 - 15 cos (x), где точка с находится на окружности на высоте одного метра от поверхности земли

а) Чтобы доказать, что \(h = 17 - 15 \cos(x)\), где точка с находится на окружности на высоте одного метра от поверхности земли, мы можем использовать геометрию и тригонометрию.

Допустим, что точка с находится на окружности с центром в точке O. Пусть точка P - это проекция точки с на поверхность земли, а отрезок OP имеет длину h.

Заметим, что отрезок OP является гипотенузой прямоугольного треугольника OCP, где OC является радиусом окружности, а PC равно высоте, то есть 1 метру.

По теореме Пифагора в треугольнике OCP, получаем:
\[OC^2 = OP^2 + PC^2\]

Так как OC - радиус окружности, а радиус равен 17 метрам, то это можно записать как:
\[17^2 = OP^2 + 1^2\]

Разрешив уравнение относительно OP, получаем:
\[OP^2 = 17^2 - 1^2\]
\[OP^2 = 289 - 1\]
\[OP^2 = 288\]
\[OP = \sqrt{288}\]
\[OP = 12 \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти h, нам нужно найти значение PC (высоты точки с). Для этого используем определение косинуса:
\[\cos(x) = \frac{PC}{OC}\]

Подставив значения, получим:
\[\cos(x) = \frac{PC}{17}\]

Так как PC равно 1, то:
\[\cos(x) = \frac{1}{17}\]

Идем дальше, чтобы найти h:
\[h = OP - PC\]
\[h = 12 \sqrt{2} - 1\]

Итак, мы доказали, что \(h = 17 - 15 \cos(x)\), где точка с находится на окружности на высоте одного метра от поверхности земли.

б) Чтобы найти высоту точки d на плоской поверхности при угле поворота круга 120 и точке d, расположенной вдоль его окружности, мы также можем использовать геометрию и тригонометрию.

Пусть точка O - центр окружности, точка d - точка на окружности с углом поворота 120 градусов, а точка P - проекция точки d на плоскость.

Мы знаем, что угол поворота круга составляет 360 градусов. Таким образом, в треугольнике OCP, угол C равен \(\frac{360}{3} = 120\) градусов.

Так как треугольник OCP является равнобедренным, у нас есть равенство СР = ОР, где Р - это середина окружности.

Пусть h - высота точки d над плоскостью, а r - радиус окружности.
Так как треугольник OCP равнобедренный, у нас верно:

\[OP = CP\]

\[r = h + PC\]

Используя косинус, можем записать:

\[\cos(\frac{120}{2}) = \frac{PC}{r}\]

\[\cos(60) = \frac{PC}{r}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{PC}{r}\]

Так как \(PC = h\), получаем:

\[\frac{1}{2} = \frac{h}{r}\]

\[h = \frac{r}{2}\]

Таким образом, высота точки d равна половине радиуса окружности.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение задачи.