8. В якому об єму формується тіло обертання при обертанні прямокутного трикутника зі стороною 12см і гіпотенузою 13см

Давайте решать задачу по очереди.

Задача 8:

Сначала найдем длину второго катета прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника, а \(c\) - гипотенуза.

Подставим известные значения:

\[
12^2 + b^2 = 13^2
\]
\[
144 + b^2 = 169
\]
\[
b^2 = 169 - 144
\]
\[
b^2 = 25
\]
\[
b = \sqrt{25}
\]
\[
b = 5
\]

Теперь найдем объем тела вращения.

Объем тела вращения, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг меншего катета равен произведению площади основания на высоту.

Основание - это окружность с радиусом, равным меншему катету треугольника \(a = 5\). Площадь основания можно найти, используя формулу для площади окружности:

\[
S_{\text{основания}} = \pi \cdot r^2
\]
\[
S_{\text{основания}} = 3.14 \cdot 5^2
\]
\[
S_{\text{основания}} \approx 78.5 \, \text{см}^2
\]

Высота - это длина второго катета треугольника \(b = 5\). Таким образом, высота равна длине второго катета.

Теперь можем найти объем тела вращения:

\[
V = S_{\text{основания}} \cdot h
\]
\[
V = 78.5 \cdot 5
\]
\[
V = 392.5 \, \text{см}^3
\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности образованного тела вращения.

Боковая поверхность образованного тела вращения состоит из полосы, полученной при разворачивании бокового катета треугольника вокруг меншего катета. Площадь полосы равна произведению периметра основания на высоту.

Периметр основания - это окружность с радиусом, равным меншему катету треугольника \(a = 5\). Таким образом, периметр основания равен \(2\pi r = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4 \, \text{см}\).

Высота - это длина второго катета треугольника \(b = 5\).

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{боковой поверхности}} = P_{\text{основания}} \cdot h
\]
\[
S_{\text{боковой поверхности}} = 31.4 \cdot 5
\]
\[
S_{\text{боковой поверхности}} = 157 \, \text{см}^2
\]

Округлим ответы до ближайшего целого числа:

Объем тела образованного вращением прямоугольного треугольника равен 393 см³.

Площадь боковой поверхности образованного тела равна 157 см².

Задача 9:

Для решения задачи, сначала нам нужно найти длину каждого из катетов прямоугольного треугольника.

Допустим, что длина катета основы прямоугольного треугольника равна \(x\) см. Тогда длина другого катета будет \(2x\) см, так как заданное соотношение составляет 1:2.

Мы знаем, что объем призмы равен 24 см³. Формула для объема призмы:

\[V = S_{\text{основания}} \times h\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, \(h\) - высота призмы.

Так как основание - прямоугольный треугольник, его площадь можно найти по формуле:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Таким образом, у нас есть следующие данные:

\(V = 24\) см³ (объем призмы)
\(S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times x \times 2x\) (площадь основания)
\(h = ?\) (высота призмы)

Мы знаем, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[V = S_{\text{основания}} \times h\]

Подставим известные значения:

\[24 = \frac{1}{2} \times x \times 2x \times h\]

Упростим:

\[24 = x^2 \times h\]

Теперь мы должны узнать, какой объем у треугольника. Для этого найдем площадь прямоугольного треугольника и используем формулу площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Подставим известные значения:

\[24 = \frac{1}{2} \times x \times 2x \times h\]
\[12 = x^2 \times h\]

Теперь решим уравнение относительно \(h\):

\[h = \frac{12}{x^2}\]

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы можно найти, зная периметр основания \(P\) и его высоту \(h\):

\[S_{\text{боковой поверхности}} = P_{\text{основания}} \times h\]

\[S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h\]

Подставляем известные значения:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{1}{2} \times (x + 2x) \times h\]

\[S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{1}{2} \times 3x \times \frac{12}{x^2}\]

Упрощаем:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{36}{x}\]

Площадь боковой поверхности призмы равна \(\frac{36}{x}\) см².

Задача 10:

Для решения задачи, нам нужно найти радиус описанной окружности вокруг треугольника, так как при вращении треугольника вокруг наибольшей стороны образуется цилиндр.

Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу для радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\[R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(S\) - его площадь.

Мы знаем, что длины сторон треугольника равны 10см, 21см и 17см.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Вычисляем \(p\):

\[p = \frac{10 + 21 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Теперь вычисляем площадь:

\[S = \sqrt{24 \cdot (24 - 10) \cdot (24 - 21) \cdot (24 - 17)}\]
\[S = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 3 \cdot 7}\]
\[S = \sqrt{7056}\]
\[S = 84\]

Теперь вычисляем радиус описанной окружности:

\[R = \frac{10 \cdot 21 \cdot 17}{4 \cdot 84}\]
\[R = \frac{3570}{336}\]
\[R \approx 10.625\]

Теперь находим объем цилиндра, образованного вращением треугольника:

\[V = \pi \cdot R^2 \cdot h\]

Мы знаем, что радиус \(R\) равен 10.625 см.

Осталось найти высоту \(h\) цилиндра.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\[h = \sqrt{c^2 - R^2}\]

где \(c\) - наибольшая сторона треугольника, в данном случае это 21 см.

\[h = \sqrt{21^2 - 10.625^2}\]
\[h \approx \sqrt{441 - 113.28125}\]
\[h \approx \sqrt{327.71875}\]
\[h \approx 18.12\]

Теперь можем вычислить объем цилиндра:

\[V = \pi \cdot 10.625^2 \cdot 18.12\]
\[V \approx \pi \cdot 113.28125 \cdot 18.12\]
\[V \approx 6496.4225 \pi\]
\[V \approx 20424.228 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем тела, образованного вращением треугольника, равен приблизительно 20424.228 см³.