6. Пожалуйста, предоставьте несколько векторов (с их координатами), которые коллинеарны заданному вектору md {–6

6. Чтобы найти векторы, коллинеарные заданному вектору \(\mathbf{md}\), мы можем использовать мультипликативное свойство. Допустим, что коллинеарный вектор \(\mathbf{v}\) может быть записан как \(\mathbf{v} = k \cdot \mathbf{md}\), где \(k\) - коэффициент пропорциональности. Тогда мы можем рассчитать координаты вектора \(\mathbf{v}\) как:

\[
\begin{align*}
x_v &= k \cdot x_{md} \\
y_v &= k \cdot y_{md}
\end{align*}
\]

где \(\mathbf{md} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}\) и \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Таким образом, нам нужно найти несколько значений \(k\), чтобы определить различные коллинеарные векторы. Вот несколько примеров:

- При \(k = 2\), вектор \(\mathbf{v_1}\) будет:

\[
\mathbf{v_1} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

- При \(k = -3\), вектор \(\mathbf{v_2}\) будет:

\[
\mathbf{v_2} = -3 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ -6 \end{pmatrix}
\]

- При \(k = 0.5\), вектор \(\mathbf{v_3}\) будет:

\[
\mathbf{v_3} = 0.5 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

И так далее.

7. Чтобы определить, равны ли векторы \(\mathbf{ca}\) и \(\mathbf{db}\), мы можем их вычислить, используя данные точки.

Вектор \(\mathbf{ca}\) можно найти, вычислив разность координат точек \(c\) и \(a\):

\[
\mathbf{ca} = \begin{pmatrix} x_c - x_a \\ y_c - y_a \end{pmatrix}
\]

Аналогично, вектор \(\mathbf{db}\) можно найти, вычислив разность координат точек \(d\) и \(b\):

\[
\mathbf{db} = \begin{pmatrix} x_d - x_b \\ y_d - y_b \end{pmatrix}
\]

Затем мы можем сравнить координаты обоих векторов, чтобы определить, равны ли они.

Для данного примера:

\[
\mathbf{ca} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
\[
\mathbf{db} = \begin{pmatrix} 6 - 5 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Координаты векторов \(\mathbf{ca}\) и \(\mathbf{db}\) одинаковы, поэтому можно сказать, что векторы равны.

8. Чтобы векторы \(\mathbf{ca}\) и \(\mathbf{db}\) были равны, координаты точки \(d\) должны быть подобными с точками \(a\), \(b\) и \(c\). Мы можем использовать уравнения разности:

\[
\begin{align*}
x_d - x_a &= x_b - x_c \\
y_d - y_a &= y_b - y_c
\end{align*}
\]

Подставляя значения точек, получим систему уравнений:

\[
\begin{align*}
x_d - 3 &= -2 - 1 \\
y_d - 5 &= 8 - 2
\end{align*}
\]

Решая систему уравнений, найдём значения \(x_d\) и \(y_d\), которые сделают векторы \(\mathbf{ca}\) и \(\mathbf{db}\) равными.

9. Чтобы рассчитать координаты векторов \(\mathbf{a+b}\) и \(\mathbf{a-b}\), мы просто складываем и вычитаем соответствующие координаты векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

\[
\mathbf{a+b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + (-9) \\ -12 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \end{pmatrix}
\]

\[
\mathbf{a-b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - (-9) \\ -12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -18 \end{pmatrix}
\]

10. Чтобы рассчитать координаты вектора \(0.5 \mathbf{a} - 2 \mathbf{b}\), мы умножаем каждую координату вектора \(\mathbf{a}\) на 0.5 и вычитаем каждую координату вектора \(\mathbf{b}\), умноженную на 2.

\[
\begin{align*}
0.5 \mathbf{a} &= 0.5 \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\
2 \mathbf{b} &= 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 16 \end{pmatrix} \\
0.5 \mathbf{a} - 2 \mathbf{b} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 4 \\ -1 - 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -17 \end{pmatrix}
\end{align*}
\]

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять материал и решить задачи! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!