5. Найдите: а) значение косинуса между векторами р-5; 5) и (3; 4); b) значение переменной a , если векторы д(3

Давайте рассмотрим все задачи по порядку.

а) Нам нужно найти значение косинуса между векторами \(\vec{р} = (-5, 5)\) и \(\vec{v} = (3, 4)\).

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{р} \cdot \vec{v}}{\lVert \vec{р} \rVert \cdot \lVert \vec{v} \rVert}
\]

где \(\vec{р} \cdot \vec{v}\) обозначает скалярное произведение векторов \(\vec{р}\) и \(\vec{v}\), а \(\lVert \vec{р} \rVert\) и \(\lVert \vec{v} \rVert\) - длины этих векторов.

Теперь, давайте найдем каждое из этих значений:

Скалярное произведение векторов \(\vec{р}\) и \(\vec{v}\):
\(\vec{р} \cdot \vec{v} = (-5) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -15 + 20 = 5\)

Длина вектора \(\lVert \vec{р} \rVert\):
\(\lVert \vec{р} \rVert = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Длина вектора \(\lVert \vec{v} \rVert\):
\(\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Теперь, подставим эти значения в формулу для косинуса и найдем его значение:
\(\cos(\theta) = \frac{5}{5\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: Значение косинуса между векторами \(\vec{р} = (-5, 5)\) и \(\vec{v} = (3, 4)\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

б) Следующая задача требует найти значение переменной "а", если векторы \(\vec{d} = (3, a)\) и \(\vec{e} = (-5, 5)\) являются коллинеарными.

Векторы коллинеарны, если и только если они пропорциональны друг другу. Это означает, что один вектор можно получить, умножив другой на некоторую константу. В данном случае, мы можем записать это как:
\(\vec{d} = k \cdot \vec{e}\)

Подставим значения векторов:
\( (3, a) = k \cdot (-5, 5)\)

Теперь, сравним соответствующие координаты обоих векторов:
\(3 = -5k\)
\(a = 5k\)

Мы получили два уравнения, которые должны выполняться одновременно. Решим первое уравнение относительно \(k\):
\(-5k = 3 \Rightarrow k = -\frac{3}{5}\)

Теперь, подставим найденное значение \(k\) во второе уравнение и найдем значение переменной "а":
\(a = 5 \cdot (-\frac{3}{5}) = -3\)

Ответ: Значение переменной "а" равно -3, если векторы \(\vec{d} = (3, a)\) и \(\vec{e} = (-5, 5)\) являются коллинеарными.

с) Последняя задача требует найти значение переменной "а", если векторы \(\vec{р} = (-5, 5)\) и \(\vec{f} = (3, a)\) перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если и только если их скалярное произведение равно нулю. Это означает, что
\(\vec{р} \cdot \vec{f} = (-5) \cdot 3 + 5 \cdot a = 0\)

Теперь, решим это уравнение относительно "а":
\(-15 + 5a = 0 \Rightarrow 5a = 15 \Rightarrow a = 3\)

Ответ: Значение переменной "а" равно 3, если векторы \(\vec{р} = (-5, 5)\) и \(\vec{f} = (3, a)\) перпендикулярны.