4. Let s consider two small offices A and B with the same cost functions (TCi=a,b) but different benefit functions

Для того чтобы решить данную задачу, нам необходимо рассмотреть два офиса A и B с одинаковыми функциями затрат (TCi=a,b), но разными функциями выгоды (bi, i=a,b):

Офис A:
BA = 100q - 0.5q^2,
TCa = 40q + 0.25q^2

Офис B:
BB = 200q - 0.5q^2,
TCb = 40q + 0.25q^2

Наша цель - определить для каждого офиса:

a) Парето-оптимальный уровень активности;
b) Сумму бюджета, которую офис будет стремиться достичь;
c) Количество излишков.

Давайте начнем с парето-оптимального уровня активности. Парето-оптимальный уровень активности достигается, когда нет возможности увеличить выгоду одного офиса без уменьшения выгоды другого офиса.

Чтобы найти парето-оптимальный уровень активности, нужно решить уравнение для каждого офиса, приравняв их функции выгоды.

Для офиса A:
100q - 0.5q^2 = b

Для офиса B:
200q - 0.5q^2 = b

Теперь найдем значение q для каждого офиса, при котором значение функции выгоды одного офиса равно значению функции выгоды другого офиса.

Для офиса A:
100q - 0.5q^2 = 200q - 0.5q^2

Упростим это уравнение:
100q = 200q

Теперь мы можем сократить на q, так как q не может быть равным нулю:
100 = 200

Таким образом, мы видим, что значение активности (q) не имеет значения. Это означает, что любой уровень активности будет являться парето-оптимальным для данной системы офисов.

Перейдем к следующей части задачи - определению суммы бюджета, которую офис будет стремиться достичь.

Для каждого офиса мы можем найти сумму бюджета путем вычисления функции затрат (TC) в точке парето-оптимального уровня активности. Подставим значение q, которое мы нашли ранее, в соответствующую функцию затрат для каждого офиса и рассчитаем сумму бюджета для каждого офиса.

Для офиса A:
TCa = 40q + 0.25q^2

Подставляем найденное значение q:
TCa = 40 * 100 + 0.25 * 100^2

Выполняем вычисления:
TCa = 4000 + 0.25 * 10000
TCa = 4000 + 2500
TCa = 6500

Таким образом, сумма бюджета, которую офис A будет стремиться достичь, равна 6500.

Аналогично, для офиса B:
TCb = 40q + 0.25q^2

Подставляем найденное значение q:
TCb = 40 * 100 + 0.25 * 100^2

TCb = 4000 + 0.25 * 10000
TCb = 4000 + 2500
TCb = 6500

Сумма бюджета, которую офис B будет стремиться достичь, также равна 6500.

Наконец, перейдем к определению количества излишков. Излишки - это сумма выгоды минус сумма затрат.

Для офиса A:
Излишки = b - TCa

Подставляем значения:
Излишки = 6500 - 6500
Излишки = 0

Для офиса B:
Излишки = b - TCb

Подставляем значения:
Излишки = 6500 - 6500
Излишки = 0

Таким образом, оба офиса A и B не имеют излишков.

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. В данной системе офисов любой уровень активности является парето-оптимальным, значит нет возможности увеличить выгоду одного офиса без уменьшения выгоды другого офиса.

2. Сумма бюджета для каждого офиса составляет 6500.

3. Ни один из офисов не имеет излишков, что означает, что выгода равна затратам.

4. Мы можем заключить, что в данной системе офисов оба офиса достигают примерно одинакового уровня выгоды и затрат.