4) Какова работа, совершаемая результирующим моментом внешних сил над вращающимся телом за промежуток времени от

Для решения задачи нам необходимо вычислить работу, совершаемую результирующим моментом внешних сил над вращающимся телом за промежуток времени от \(t_1\) до \(t_2\).

Сначала найдём угловые скорости тела на моменты времени \(t_1\) и \(t_2\). Угловая скорость \(\omega(t)\) выражается через угловое смещение \(\varphi(t)\) как производная по времени: \(\omega(t) = \frac{{d\varphi}}{{dt}}\).

Для нахождения угловой скорости на момент времени \(t\) подставим закон изменения углового смещения \(\varphi(t)\) в это выражение:

\[\omega(t) = \frac{{d\varphi}}{{dt}} = \frac{{d(at^2 + b + ct^3)}}{{dt}} = 2at + 3ct^2.\]

Теперь найдём угловые скорости \(\omega_1\) и \(\omega_2\) на моменты времени \(t_1\) и \(t_2\):

\[\omega_1 = 2at_1 + 3ct_1^2\]
\[\omega_2 = 2at_2 + 3ct_2^2.\]

Далее, вращающееся тело испытывает внешний момент силы \(М(t)\), который приводит к его вращению. Момент сил равен произведению осевого момента инерции тела \(I\) на угловое ускорение тела \(\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}}\):

\[М(t) = I \cdot \alpha(t).\]

Осевой момент инерции диска выражается формулой \(I = \frac{1}{2}m \cdot r^2\). Подставим значение массы \(m\) и радиуса \(r\):

\[I = \frac{1}{2} \cdot 0.3 \, \text{кг} \cdot (0.1 \, \text{м})^2.\]

Угловое ускорение \(\alpha(t)\) на момент времени \(t\) определяется как производная угловой скорости по времени:

\[\alpha(t) = \frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{d(2at + 3ct^2)}}{{dt}} = 2a + 6ct.\]

Теперь можем выразить момент силы \(М(t)\) на момент времени \(t\):

\[М(t) = \left(\frac12 \cdot 0.3 \, \text{кг} \cdot (0.1 \, \text{м})^2\right) \cdot (2a + 6ct).\]

Теперь, чтобы вычислить работу, совершаемую моментом силы от момента времени \(t_1\) до \(t_2\), воспользуемся следующим выражением для работы \(A\):

\[A = \int_{t_1}^{t_2} М(t) \cdot d\varphi,\]

где \(d\varphi\) - бесконечно малое перемещение вдоль оси вращения на элементарный угол \(d\varphi\).

Так как в данной задаче величина углового смещения задана функцией \(\varphi(t)\), то можем записать \(d\varphi = \varphi"(t) \cdot dt\), где \(\varphi"(t)\) - производная от функции \(\varphi(t)\) по времени \(t\).

Подставим полученные выражения для \(М(t)\) и \(d\varphi\) в формулу для работы \(A\) и проинтегрируем:

\[A = \int_{t_1}^{t_2} М(t) \cdot d\varphi = \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac12 \cdot 0.3 \, \text{кг} \cdot (0.1 \, \text{м})^2\right) \cdot (2a + 6ct) \cdot \varphi"(t) \cdot dt.\]

Обратите внимание, что необходимо знать вид функции \(\varphi(t)\) или ее производной \(\varphi"(t)\). Если вы можете предоставить эти данные, то я смогу точно вычислить работу для данной задачи.