4. Какому числу шариков соответствует каждый из трех ящиков, если на столе стоят ящики с номерами 1, 2 и 3, и в одном

4. Для решения данной задачи воспользуемся методом рассуждений и логических умозаключений.

Обозначим числа шариков в ящиках как \(x, y\) и \(z\) соответственно. Заметим, что номер ящика не совпадает с числом шариков внутри. Исходя из этого, мы можем сделать несколько предположений:

1) Если в первом ящике находится один шарик, то второй ящик должен содержать два шарика, а третий ящик – три шарика. Но так как номер ящика не совпадает с числом шариков внутри, данное предположение не подходит.

2) Если в первом ящике находятся два шарика, то второй ящик должен содержать один шарик, а третий – три шарика. Опять же, так как номер ящика не совпадает с числом шариков внутри, это предположение не подходит.

3) Если в первом ящике находится три шарика, то второй ящик должен содержать один шарик, а третий – два шарика. Как мы видим, данное предположение удовлетворяет условиям задачи: номер первого ящика не равен числу шариков в нем, номер второго ящика не равен числу шариков в нем, и номер третьего ящика не равен числу шариков в нем.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в первом ящике находится три шарика, во втором – один шарик, а в третьем – два шарика.

Ответ: в первом ящике находится 3 шарика, во втором – 1 шарик, в третьем – 2 шарика.

5. Чтобы определить, сколько треугольников необходимо нарисовать на квадратной решетке 4×4 точек, чтобы каждая точка оказалась на границе хотя бы одного треугольника, можно провести следующие рассуждения:

Заметим, что каждая точка на вертикальной и горизонтальной границе квадратной решетки находится на границе двух треугольников. Таким образом, количество точек на границе, которые необходимо покрыть треугольниками, равно \(2 \times (4 + 4)\).

Внутри квадрата остается \(4 \times 4 - 2 \times (4 + 4) = 16 - 16 = 0\) точек, которые также должны попасть на границы треугольников. Чтобы обеспечить это, нужно провести еще 4 треугольника, каждый из которых будет включать одну из внутренних точек.

Пример с указанным числом треугольников:
Таким образом, чтобы каждая точка оказалась на границе хотя бы одного треугольника, необходимо нарисовать 12 треугольников.