35.22. Найти наибольшее целое число, которое является решением следующих неравенств: 1) (3 - x) (9 + 3x + х?) – 2х

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем наибольшее целое число, которое является решением.

1) Начнем с неравенства: \((3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 > 7x + 7\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[27 - 9x + 3x^2 + 9x - 3x^2 + x^3 - 2x + x^3 > 7x + 7\]

Упростим выражение:

\[27 - 2x + 2x^3 > 7x + 7\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону и упорядочим их:

\[2x^3 - 9x + 20 > 0\]

2) Перейдем к следующему неравенству: \((x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^3 - 7x^2 + 7x^2 - 49x + 49x - 343 < -4x + x^3 + 17\]

Упростим выражение:

\[-x^2 - 294 < -4x + x^3 + 17\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону и упорядочим их:

\[x^3 - x^2 + 4x - 311 < 0\]

3) Перейдем к третьему неравенству: \(7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[7x - x^3 > 27x - (x^3 - 8x^2 + 64x + 8x^2 - 64x + 512)\]

Упростим выражение:

\[7x - x^3 > 27x - (x^3 -64)\]

Сократим подобные слагаемые:

\[7x - x^3 > 27x - x^3 + 64\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону и упорядочим их:

\[-20x > -64\]

Изменим знак на противоположный:

\[20x < 64\]

4) Последнее неравенство: \(16x^3 - 2x + 1 - 32 + (8x - 1)(64x + 1) < 0\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[16x^3 - 2x + 1 - 32 + 8x(64x + 1) - 64x - 1 < 0\]

Упростим выражение:

\[16x^3 - 2x - 31 + 512x^2 + 8x - 64x - 1 < 0\]

Сгруппируем слагаемые:

\[16x^3 + 512x^2 - 57x - 32 < 0\]

Теперь мы имеем 4 неравенства и нам нужно найти наибольшее целое число, которое является решением каждого из них. Чтобы найти все решения, нам потребуется использовать графический метод или численные методы, такие как метод интервалов или метод подстановки чисел. Я могу помочь вам с использованием численных методов или предоставить график, но чтобы найти наибольшее целое решение, мы можем попробовать приступить к проверке целых чисел в каждом неравенстве. Дабы сэкономить время, давайте рассмотрим их неравенства попарно.

Определение решений:
1) Неравенство \(2x^3 - 9x + 20 > 0\):

Построим график данного уравнения и найдем значения x, при которых \(2x^3 - 9x + 20\) будет положительным. Попробуем начать проверку со значения x = 0:

\[2(0)^3 - 9(0) + 20 = 20 > 0\]

Значение положительное. Теперь проверим значение x = 1:

\[2(1)^3 - 9(1) + 20 = 13 > 0\]

Опять положительное значение. Проверим значение x = -1:

\[2(-1)^3 - 9(-1) + 20 = 32 > 0\]

И снова положительное значение. Мы видим, что все проверенные значения x дают положительный результат. Однако, чтобы найти наибольшее целое значение, мы можем продолжить проверку значений x, отрицательных и положительных. Таким образом, продолжим проверку отрицательных целых значений x:

\[2(-2)^3 - 9(-2) + 20 = -8 < 0\]

Значение отрицательное. Продолжим проверку значений:

\[2(-3)^3 - 9(-3) + 20 = -67 < 0\]

И теперь проверим значения x > 1:

\[2(2)^3 - 9(2) + 20 = 30 > 0\]

\[2(3)^3 - 9(3) + 20 = 47 > 0\]

\[2(4)^3 - 9(4) + 20 = 100 > 0\]

Мы видим, что все значения x > 1 дают положительный результат. Следовательно, наибольшее целое решение данного неравенства равно x = 1.



2) Неравенство \(x^3 - x^2 + 4x - 311 < 0\):

Опять же, чтобы найти решения, нам необходимо использовать квадратное уравнение, графический метод или численные методы. Попробуем проверить значения x от -1 до 1:

\[(-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) - 311 = -319 < 0\]

\[0^3 - 0^2 + 4(0) - 311 = -311 < 0\]

\[1^3 - 1^2 + 4(1) - 311 = -307 < 0\]

Все проверяемые значения x дают отрицательный результат. Попробуем большие значения:

\[2^3 - 2^2 + 4(2) - 311 = -299 < 0\]

\[3^3 - 3^2 + 4(3) - 311 = -291 < 0\]

\[4^3 - 4^2 + 4(4) - 311 = -275 < 0\]

Мы видим, что все значения x дают отрицательный результат. Таким образом, данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.



3) Неравенство \(20x < 64\):

Данное неравенство имеет простое одночленное выражение. Чтобы найти решение, разделим обе стороны на 20:

\[x < \frac{64}{20}\]

Упростим:

\[x < \frac{16}{5}\]

Для нахождения наибольшего целого числа, которое является решением, округлим результат вниз:

\[x < 3\]

Следовательно, наибольшее целое решение данного неравенства равно x = 2.



4) Неравенство \(16x^3 + 512x^2 - 57x - 32 < 0\):

Опять же, для нахождения решения, нам необходимо использовать численные методы или построить график данного уравнения. Мы можем начать с проверки нескольких значений, чтобы определить значения x, при которых неравенство является истинным.

Будем проверять отрицательные и положительные значения x:

\[16(-1)^3 + 512(-1)^2 - 57(-1) - 32 = -457 < 0\]

\[16(0)^3 + 512(0)^2 - 57(0) - 32 = -32 < 0\]

\[16(1)^3 + 512(1)^2 - 57(1) - 32 = 439 < 0\]

\[16(-2)^3 + 512(-2)^2 - 57(-2) - 32 = -2784 < 0\]

\[16(2)^3 + 512(2)^2 - 57(2) - 32 = 3992 < 0\]

Мы видим, что все значения x < 0 дают отрицательный результат, а значения x > 0 дают положительный результат. Но чтобы найти наибольшее целое значение, продолжим проверку:

\[16(-3)^3 + 512(-3)^2 - 57(-3) - 32 = -8296 < 0\]

\[16(3)^3 + 512(3)^2 - 57(3) - 32 = 12248 < 0\]

Таким образом, наибольшее целое решение данного неравенства равно x = 2.




Итак, наилучшими решениями для каждого из данных неравенств являются:

1) \(x = 1\)
2) Нет решений среди целых чисел.
3) \(x < 3\), наибольшее решение: \(x = 2\)
4) \(x = 2\)

Надеюсь, что данное пошаговое решение и обоснование поможет вам лучше понять, как найти наибольшее целое решение для каждого из данных неравенств. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дополнительное пояснение, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я всегда готов помочь!