33.2. Какие значения x могут быть целыми корнями следующих многочленов: 1) 2x3 — 2х2 – 5х + 6; 2) 2х3 – 5х2 + 7х

Для решения этой задачи мы можем использовать метод подстановки и проверить различные значения x, чтобы определить, какие из них являются целыми корнями предложенных многочленов.

1) Начнем с первого многочлена: 2x^3 - 2x^2 - 5x + 6.

Мы можем попытаться подставить различные целочисленные значения x и проверить, дает ли это нам ноль. Попробуем сначала x = 0:

(2 * 0^3) - (2 * 0^2) - (5 * 0) + 6 = 6

Так как результат не равен нулю, x = 0 не является целым корнем этого многочлена. Продолжим подставлять другие значения x:

Давайте попробуем x = 1:

(2 * 1^3) - (2 * 1^2) - (5 * 1) + 6 = 1

Опять же, результат не равен нулю, x = 1 не является корнем.

Далее, попробуем x = -1:

(2 * (-1)^3) - (2 * (-1)^2) - (5 * (-1)) + 6 = -14

Вновь результат отличается от нуля, поэтому -1 также не является целым корнем.

Мы можем продолжать этот процесс, подставляя различные значения, но, чтобы сэкономить время, воспользуемся теоремой о столбиках (или теоремой Безу). Мы узнаем, что если x — целый корень данного многочлена, то x должен делиться нацело на последний коэффициент и одновременно делиться нацело на первый коэффициент. В этом случае, последний коэффициент равен 6, а первый коэффициент равен 2. Нам нужно проверить, какие целочисленные значения делятся и на 6, и на 2.

Таким образом, мы можем выбрать только целочисленные значения, которые могут являться корнями первого многочлена: x = -3, -2, -1, 1, 2, 3.

2) Перейдем ко второму многочлену: 2x^3 - 5x^2 + 7x + 4.

Также, как и ранее, мы можем использовать метод подстановки, чтобы проверить возможные корни. Начнем с x = 0:

(2 * 0^3) - (5 * 0^2) + (7 * 0) + 4 = 4

Здесь мы снова получаем результат, отличный от нуля, поэтому x = 0 не является корнем.

Продолжим, выбирая другие значения:

Для x = 1:

(2 * 1^3) - (5 * 1^2) + (7 * 1) + 4 = 8

Наблюдаем, что результат не равен нулю, поэтому x = 1 не является решением.

Используя теорему о столбиках, нам необходимо выбрать только целочисленные значения, которые делятся и на 4 (последний коэффициент) и на 2 (первый коэффициент).

Получаем следующие целочисленные значения, которые могут быть корнями второго многочлена: x = -4, -2, 1, 2.

3) Третий многочлен: 2x^3 + 3x^2 - 7x - 10.

Опять же, мы можем использовать метод подстановки и проверить различные значения x.

Попробуем снова x = 0:

(2 * 0^3) + (3 * 0^2) - (7 * 0) - 10 = -10

Здесь результат также не равен нулю, поэтому x = 0 не является целым корнем.

Продолжим:

Для x = 1:

(2 * 1^3) + (3 * 1^2) - (7 * 1) - 10 = -12

Результат отличается от нуля, поэтому x = 1 не является решением.

Воспользуемся теоремой о столбиках: необходимо выбрать только целочисленные значения, которые делятся и на -10 (последний коэффициент) и на 2 (первый коэффициент).

Таким образом, следующие значения могут быть корнями третьего многочлена: x = -5, -2, 1, 2, 5.

4) Наконец, рассмотрим последний многочлен: x^3 - 3x^2.

В этом случае мы имеем только два коэффициента. Проверим, даст ли нам ноль подстановка различных целочисленных значений x:

Для x = 0:

0^3 - 3 * 0^2 = 0

Так как результат равен нулю, x = 0 является целым корнем.

Таким образом, единственным целым корнем последнего многочлена является x = 0.

Вывод: значения x, которые могут быть целыми корнями данных многочленов, перечислены следующим образом:

1) 2x^3 - 2x^2 - 5x + 6: x = -3, -2, -1, 1, 2, 3.
2) 2x^3 - 5x^2 + 7x + 4: x = -4, -2, 1, 2.
3) 2x^3 + 3x^2 - 7x - 10: x = -5, -2, 1, 2, 5.
4) x^3 - 3x^2: x = 0.