3. Выделите на плоскости точки А (-3;1), В (0;-4) и М (2;-1). Проведите линию, соединяющую точки А и В. Проведите линию

Для решения данной задачи, нам необходимо провести линию \(AB\) и две дополнительные линии: линию, параллельную \(AB\) через точку \(M\) и линию, перпендикулярную \(AB\) через точку \(M\).

Шаг 1: Построение линии \(AB\)
Чтобы построить линию \(AB\), мы должны соединить точки \(A(-3,1)\) и \(B(0,-4)\) на координатной плоскости. Рисуем отрезок, проходящий через эти две точки:

\[
\overrightarrow{AB}
\]

Шаг 2: Построение линии, параллельной \(AB\), через точку \(M\)
Для построения линии, параллельной \(AB\), через точку \(M(2,-1)\), мы будем использовать следующий подход:

а) Находим вектор \(\overrightarrow{AB}\) (вектор направления линии \(AB\)):
\[
\overrightarrow{AB} = (x_b - x_a, y_b - y_a) = (0 - (-3), -4 - 1) = (3, -5)
\]

б) Так как вектор \(\overrightarrow{MN}\) должен быть параллелен вектору \(\overrightarrow{AB}\), то вектор \(\overrightarrow{MN}\) будет иметь те же координаты:
\[
\overrightarrow{MN} = (3, -5)
\]

в) Теперь выбираем новую точку \(N(x_n, y_n)\), через которую будет проходить новая линия.
Зная координаты точки \(M(2, -1)\) и вектор \(\overrightarrow{MN}\), мы можем использовать формулу для нахождения координат новой точки:
\[
N(x_n, y_n) = M(x_m + x_n, y_m + y_n) = (2 + 3, -1 - 5) = (5, -6)
\]

г) Проводим линию через точку \(N(5, -6)\), параллельную \(\overline{AB}\):
\[
\overleftrightarrow{MN}
\]

Шаг 3: Построение перпендикулярной линии \(b\) через точку \(М\)
Для построения перпендикулярной линии \(b\) через точку \(M(2, -1)\), мы также будем использовать векторный подход:

а) Находим вектор \(\overrightarrow{AB}\) (вектор направления линии \(AB\)):
\[
\overrightarrow{AB} = (3, -5)
\]

б) Так как вектор \(\overrightarrow{OP}\) должен быть перпендикулярен вектору \(\overrightarrow{AB}\), то вектор \(\overrightarrow{OP}\) будет иметь координаты, обратные по знаку к вектору \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\overrightarrow{OP} = (-5, -3)
\]

в) Теперь выбираем новую точку \(P(x_p, y_p)\), через которую будет проходить перпендикулярная прямая.
Зная координаты точки \(M(2, -1)\) и вектор \(\overrightarrow{OP}\), мы можем использовать формулу для нахождения координат новой точки:
\[
P(x_p, y_p) = M(x_m + x_p, y_m + y_p) = (2 - 5, -1 - 3) = (-3, -4)
\]

г) Проводим прямую через точку \(P(-3, -4)\), перпендикулярную \(\overline{AB}\):
\[
\overleftrightarrow{OP}
\]

Таким образом, мы провели линию, соединяющую точки \(A\) и \(B\) (\(\overleftrightarrow{AB}\)), а также провели линию, параллельную \(\overleftrightarrow{AB}\) через точку \(M\) (\(\overleftrightarrow{MN}\)), и линию, перпендикулярную \(\overleftrightarrow{AB}\) через точку \(M\) (\(\overleftrightarrow{OP}\)).