3. В треугольнике АВС АВ равно 4, ВС равно квадратному корню из 13, АС равно 3. Определите 1) косинус угла А, 2) длину

Хорошо, давайте решим задачу. У нас есть треугольник АВС, где АВ равно 4, ВС равно \(\sqrt{13}\), и АС равно 3. Давайте решим каждый пункт задачи по очереди.

1) Чтобы найти косинус угла А, мы можем использовать формулу косинусов. Формула косинусов гласит:

\[cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

где a, b и c - это стороны треугольника, причем a - напротив угла A, b - напротив угла B, а c - напротив угла C.

В нашем случае, a = 3 (сторона АС), b = 4 (сторона АВ) и c = \(\sqrt{13}\) (сторона ВС). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[cos(A) = \frac{4^2 + \sqrt{13}^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{13}}\]

\[cos(A) = \frac{16 + 13 - 9}{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{13}}\]

\[cos(A) = \frac{20}{8 \cdot \sqrt{13}}\]

\[cos(A) = \frac{5}{2 \cdot \sqrt{13}}\]

Таким образом, косинус угла A равен \(\frac{5}{2 \cdot \sqrt{13}}\).

2) Чтобы найти длину медианы СМ, мы можем использовать формулу для длины медианы треугольника. Формула для длины медианы СМ имеет вид:

\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\]

где a, b и c - это стороны треугольника, причем a - это сторона, на которой расположена медиана, а b и c - оставшиеся две стороны.

В нашем случае, a = 3 (сторона АС), b = 4 (сторона АВ) и c = \(\sqrt{13}\) (сторона ВС). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot \sqrt{13}^2 - 3^2}\]

\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 16 + 2 \cdot 13 - 9}\]

\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 26 - 9}\]

\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{49}\]

\[CM = \frac{1}{2} \cdot 7\]

\[CM = 3.5\]

Таким образом, длина медианы СМ равна 3.5.

3) Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где p - полупериметр треугольника, определяемый как \(\frac{a+b+c}{2}\), а a, b и c - это стороны треугольника.

В нашем случае, a = 3 (сторона АС), b = 4 (сторона АВ) и c = \(\sqrt{13}\) (сторона ВС). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[p = \frac{3+4+\sqrt{13}}{2}\]

\[p = \frac{7+\sqrt{13}}{2}\]

\[S = \sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{2} \cdot \left(\frac{7+\sqrt{13}}{2}-3\right) \cdot \left(\frac{7+\sqrt{13}}{2}-4\right) \cdot \left(\frac{7+\sqrt{13}}{2}-\sqrt{13}\right)}\]

\[S = \sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}-1}{2} \cdot \frac{3+\sqrt{13}}{2} \cdot \frac{7-\sqrt{13}}{2}}\]

\[S = \sqrt{\frac{(7+\sqrt{13})(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)(7-\sqrt{13})}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{(7^2-\sqrt{13}^2)(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{(49-13)(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{36(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{9(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}{4}}\]

\[S = \frac{3\sqrt{(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}}{2}\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{3\sqrt{(3+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)}}{2}\).

Таким образом, мы получили все ответы на поставленные вопросы, с обоснованиями и пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.