3. В самом большом количество точек может пересекаться 100 прямых, если точно 11 из них являются параллельными друг

1. Чтобы решить данную задачу, нам нужно понять, как связаны количество пересечений и количество параллельных прямых. Давайте взглянем на прямые параллельные друг другу.

Параллельные прямые не пересекаются, так как они имеют одинаковый наклон и никогда не встречаются. Когда мы добавляем новую параллельную прямую, она существует отдельно от остальных и не пересекает их.

Теперь рассмотрим, когда новая прямая пересекает уже существующую. Каждая новая прямая может пересечь каждую из существующих прямых. Так как у нас есть 100 прямых и 11 из них параллельны, значит, каждая из оставшихся 89 прямых имеет возможность пересечь 11 параллельных прямых.

Таким образом, самое большое количество точек пересечения 100 прямых можно получить, если каждая из 89 прямых пересечет каждую из 11 параллельных прямых. Итого: 89 * 11 = 979 точек пересечения.

Ответ: Максимально возможное количество точек пересечения 100 прямых при условии, что 11 из них параллельны друг другу, равно 979.

2. Чтобы отметить точки, симметричные уже отмеченным точкам относительно данной прямой на клетчатой бумаге, нам нужно использовать симметрию относительно данной прямой.

Пусть у нас есть начальные точки A и B, отмеченные на клетчатой бумаге. Для того чтобы найти точку, симметричную точке A относительно данной прямой, мы проводим перпендикуляр к данной прямой из точки A и продлеваем его столько же клеток в другую сторону. Затем мы отмечаем точку C, которая получается пересечением продолженного перпендикуляра и данной прямой. Точка C будет симметричной точке A относительно данной прямой.

Аналогично, чтобы найти точку, симметричную точке B относительно данной прямой, мы проводим перпендикуляр к данной прямой из точки B и продлеваем его столько же клеток в другую сторону. Затем мы отмечаем точку D, которая получается пересечением продолженного перпендикуляра и данной прямой. Точка D будет симметричной точке B относительно данной прямой.

Таким образом, чтобы найти точки, симметричные уже отмеченным точкам A и B относительно данной прямой, мы проводим перпендикуляры из каждой из этих точек и отмечаем точки пересечения этих перпендикуляров с данной прямой.

3. У нас есть равнобедренный треугольник, у которого угол между биссектрисой при основании и его противоположной стороной составляет 60°. Нам нужно найти угол, противоположный основанию данного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса при основании делит противоположную сторону на две равные части. Таким образом, у нас есть два равных угла, образованных биссектрисой и противоположной стороной. Мы знаем, что каждый из этих углов составляет 60°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем выразить угол, противоположный основанию, используя следующее соотношение:

\[\text{{Угол}} = 180° - 60° - 60°\]

\[\text{{Угол}} = 60°\]

Ответ: Угол, противоположный основанию данного равнобедренного треугольника, равен 60°.

4. У нас есть треугольник со сторонами длиной 3 и 5, и третья сторона - целое число. Мы хотим найти максимальное количество различных треугольников, удовлетворяющих этим условиям.

Чтобы найти максимальное количество различных треугольников, нам нужно рассмотреть все возможные значения для третьей стороны и проверить, являются ли они допустимыми для построения треугольника с заданными сторонами 3 и 5.

Согласно неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. В случае нашего треугольника, это означает, что сумма 3 и 5 (т.е. 8) должна быть больше третьей стороны.

Таким образом, третья сторона не может быть больше 8, иначе треугольник невозможно построить.

Проверим каждое целое число от 1 до 8, чтобы увидеть, какие значения третьей стороны являются допустимыми:

- При третьей стороне длиной 1, сумма 3 и 5 (т.е. 8) больше, чем 1, поэтому треугольник можно построить.
- При третьей стороне длиной 2, сумма 3 и 5 (т.е. 8) больше, чем 2, поэтому треугольник можно построить.
- При третьей стороне длиной 3, сумма 3 и 5 (т.е. 8) не больше 3, поэтому треугольник нельзя построить.
- При третьей стороне длиной 4, сумма 3 и 5 (т.е. 8) не больше 4, поэтому треугольник нельзя построить.
- При третьей стороне длиной 5, сумма 3 и 5 (т.е. 8) не больше 5, поэтому треугольник нельзя построить.
- При третьей стороне длиной 6, сумма 3 и 5 (т.е. 8) не больше 6, поэтому треугольник нельзя построить.
- При третьей стороне длиной 7, сумма 3 и 5 (т.е. 8) не больше 7, поэтому треугольник нельзя построить.
- При третьей стороне длиной 8, сумма 3 и 5 (т.е. 8) больше, чем 8, поэтому треугольник можно построить.

Итак, только при третьей стороне длиной 1, 2 и 8 можно построить треугольник с заданными сторонами 3 и 5.

Ответ: Максимальное количество различных треугольников, удовлетворяющих условиям, составляет 3. Третья сторона может быть длиной 1, 2 или 8.