3. Сколько однокурсников Оля может поделиться своими требуемыми книгами в группе, состоящей из 26 студентов? 4

Задача 3: Чтобы решить эту задачу, мы должны определить, сколько студентов Оля может поделиться своими требуемыми книгами. Дано, что в группе состоит из 26 студентов. Мы можем использовать деление с остатком, чтобы найти максимальное количество раз, которое Оля может поделить книги.

Обозначим количество книг, которыми Оля располагает, как "k". Если Оля хочет раздать книги в группе, состоящей из 26 студентов, то мы можем записать это в виде уравнения: \(26 = k \cdot n + r\), где "n" - это количество раз, которое Оля может поделить свои книги, а "r" - это количество книг, которые у нее останутся не поделенными.

Так как каждый студент должен получить по одной книге, то \(n\) должно быть наибольшим целым числом, которое удовлетворяет условию. Найдем наибольшее значение \(n\), при котором \(k \cdot n\) будет меньше или равно 26. Если \(k \cdot n\) будет больше 26, то это означает, что останутся книги, которые Оля не сможет поделить.

Давайте рассмотрим пример. Пусть Оля имеет 4 книги. Тогда у нас есть уравнение \(26 = 4 \cdot n + r\). Решим это уравнение для различных значений \(n\):

- При \(n = 1\), \(4 \cdot 1 = 4\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 4 = 22\).
- При \(n = 2\), \(4 \cdot 2 = 8\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 8 = 18\).
- При \(n = 3\), \(4 \cdot 3 = 12\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 12 = 14\).
- При \(n = 4\), \(4 \cdot 4 = 16\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 16 = 10\).
- При \(n = 5\), \(4 \cdot 5 = 20\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 20 = 6\).
- При \(n = 6\), \(4 \cdot 6 = 24\). Такое значение \(n\) дает нам остаток \(26 - 24 = 2\).

Как видно из всех рассмотренных значений \(n\), наибольшее значение \(n\), при котором \(k \cdot n\) не превышает 26 и дает остаток 0, это \(n = 6\). Значит, Оля может поделиться своими требуемыми книгами с 26 студентами, составляющими группу, 6 раз, и у нее не останется ни одной книги.

Ответ: Оля может поделиться своими требуемыми книгами в группе, состоящей из 26 студентов, 6 раз.

Задача 4: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. У нас есть 20 роз и мы должны выбрать 5 из них для создания букета. Для такого вида задач удобно использовать формулу сочетаний \(C(n, k)\), где \(n\) - количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.

В данном случае, мы должны найти значение \(C(20, 5)\), которое представляет количество способов выбрать 5 роз из 20. По формуле сочетаний, \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n!\) - факториал числа \(n\).

Рассчитаем это значение:

\[C(20, 5) = \frac{{20!}}{{5! \cdot (20-5)!}} = \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}\]

Для упрощения расчетов, мы можем заметить, что \(15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) можно сократить в числителе и знаменателе:

\[C(20, 5) = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Теперь мы можем сократить некоторые значения:

\[C(20, 5) = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{1860480}}{{120}} = 15504\]

Ответ: Мы можем составить 15504 букетов, выбирая 5 роз из 20.

Задача 5: В этой задаче нам нужно определить количество различных записей суммы, если слагаемые a, b, c и d меняют местами. Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть все возможные перестановки слагаемых.

У нас есть 4 слагаемых (a, b, c и d), и каждое из них может быть на одной из четырех позиций в записи суммы. Таким образом, у нас есть 4 возможные варианта для первой позиции, 3 оставшиеся варианта для второй позиции, 2 оставшиеся варианта для третьей позиции и 1 оставшийся вариант для четвертой позиции.

Теперь мы можем умножить количество вариантов для каждой позиции, чтобы получить общее количество различных записей суммы:

\[4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]

Ответ: Возможно существует 24 различных записи суммы, если слагаемые a, b, c и d меняют местами.

Задача 6: Чтобы решить эту задачу, мы должны определить количество трехзначных чисел, которые можно составить. Трехзначное число состоит из трех цифр: первой, второй и третьей.

Первая цифра не может быть нулем, поэтому у нас есть 9 вариантов для выбора первой цифры (от 1 до 9).

Вторая и третья цифры могут быть любыми цифрами от 0 до 9, поэтому у нас есть 10 вариантов для выбора каждой из них.

Таким образом, общее количество трехзначных чисел можно рассчитать, умножив количество вариантов для каждой цифры:

\[9 \cdot 10 \cdot 10 = 900\]

Ответ: Существует 900 трехзначных чисел в общем.