3. Какова длина стороны квадрата, если точка К находится на расстоянии 17 см от одной из его сторон и на 8 см

Давайте решим задачи по очереди:

3. Дана задача найти длину стороны квадрата, если точка К находится на расстоянии 17 см от одной из его сторон и на 8 см от его плоскости.

Давайте представим, что точка К находится на горизонтальной стороне квадрата AB. Пусть точка M - это точка на стороне квадрата AB, которая находится на расстоянии 17 см от точки К, а точка N - это точка, которая находится на расстоянии 8 см от плоскости квадрата.

Так как точка N находится на расстоянии 8 см от плоскости квадрата, то можно предположить, что от точки N вертикально вниз к плоскости квадрата проведена перпендикуляр. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону квадрата AB в точке P.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник KNP с гипотенузой KM и катетами KP и PN.

Мы знаем, что KP = 8 см, PN = 17 см и хотим найти длину стороны квадрата AB.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза - это отрезок KM, катеты - KP и PN.

Можно записать это в виде уравнения:

\[KP^2 + PN^2 = KM^2\]

Подставляем известные значения:

\[8^2 + 17^2 = KM^2\]

Упрощаем:

\[64 + 289 = KM^2\]

\[353 = KM^2\]

Теперь избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень:

\[KM = \sqrt{353}\]

Таким образом, длина стороны квадрата AB, равная KM, будет равна \(\sqrt{353}\) см.

4. Найдите площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 4 см, который наклонен под углом 45° к плоскости.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади проекции фигуры, которая равна произведению площади фигуры на косинус угла между плоскостью, на которую проецируется фигура, и плоскостью проекции.

В данном случае у нас есть правильный шестиугольник со стороной длиной 4 см и он наклонен под углом 45° к плоскости. Заметим, что угол 45° является углом между плоскостью шестиугольника и плоскостью проекции.

Находим площадь проекции шестиугольника. Площадь проекции шестиугольника будет равна произведению площади шестиугольника на косинус 45°:

\[Площадь\;проекции = \cos(45°) \times Площадь\;шестиугольника\]

Так как у нас правильный шестиугольник, его площадь можно найти по формуле:

\[Площадь\;шестиугольника = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (сторона)^2\]

Подставляем значение стороны:

\[Площадь\;шестиугольника = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2\]

Упрощаем:

\[Площадь\;шестиугольника = 48\sqrt{3}\]

Теперь находим площадь проекции:

\[Площадь\;проекции = \cos(45°) \times 48\sqrt{3}\]

Поскольку \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставляем:

\[Площадь\;проекции = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 48\sqrt{3}\]

Упрощаем:

\[Площадь\;проекции = 24\sqrt{6}\]

Таким образом, площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 4 см, который наклонен под углом 45° к плоскости, равна \(24\sqrt{6}\) квадратных сантиметров.