25. хотя б один . 1) Знайдіть радіуси зовнішнього кола, описаного навколо правильного трикутника, та внутрішнього кола

Задача 1:
Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанного и описанного окружностей в правильном треугольнике.

Предположим, что радиус внутреннего круга равен \(r\) см, а радиус внешнего круга равен \(R\) см.

Согласно свойствам, радиус вписанного круга равен половине длины стороны треугольника, а радиус описанного круга равен длине стороны треугольника, деленной на \(\sqrt{3}\).

Таким образом, длина стороны треугольника будет равна \(2r\sqrt{3}\), а его длина вписанного круга будет \(2\pi r\) и описанного круга будет \(2\pi R\).

По условию задачи, разница между радиусами равна 7 см. Это можно записать уравнением:
\[R - r = 7\]

Теперь мы можем составить систему уравнений:
\[\begin{cases} R - r = 7 \\ 2R = 2r\sqrt{3} \end{cases}\]

Разрешим систему уравнений методом подстановки:

Из второго уравнения получаем \(R = r\sqrt{3}\).

Подставляем это значение в первое уравнение:
\[r\sqrt{3} - r = 7\]

Упрощаем уравнение и находим значение \(r\):
\[r(\sqrt{3} - 1) = 7\]
\[r = \frac{7}{\sqrt{3} - 1} \approx 4.15\]

Таким образом, радиус внутреннего круга составляет примерно 4.15 см.

Теперь, найдем радиус внешнего круга:
\[R = r + 7 \approx 11.15 \text{ см}\]

Итак, радиус внешнего круга составляет примерно 11.15 см, а радиус внутреннего круга - примерно 4.15 см.

Задача 2:
Правильный треугольник с вписанным кругом означает, что центр круга совпадает с центром треугольника, а сторона треугольника является диаметром круга.

Пусть сторона треугольника равна \(a\) см.

Согласно свойствам, для правильного треугольника площадь равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\), а площадь вписанного круга равна \(\pi (\frac{a}{2})^2\).

По условию задачи, площадь правильного треугольника равна площади вписанного круга. Мы можем записать это уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \pi (\frac{a}{2})^2\]

Упрощаем уравнение и решаем его:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\pi}{4} \cdot a^2\]

Сокращаем \(a^2\) с обеих сторон уравнения:

\[\sqrt{3} = \pi\]

Однако эта система не имеет разумных решений, так как значение числа \(\pi\) (пи) является иррациональным числом и не может быть равным иррациональному числу \(\sqrt{3}\).

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в данное круг, не может быть точно определена, так как условия задачи противоречивы.