21. Let s say there is a relation P defined on the set X. It is called symmetric if it possesses the following

21. Отношение P на множестве X называется симметричным, если оно обладает следующими свойствами: a) xPx для любого \(x \in X\); b) если xPy, то yPx; c) если xPy и yPz, то xPz; d) если xPy и x≠y, то yPx.

Обоснование:
a) Свойство \(xPx\) для любого \(x \in X\) означает, что каждый элемент множества X связан с самим собой отношением P. Например, если P - отношение "равно", то любое число равно самому себе.

b) Свойство, что если xPy, то yPx, означает, что если между элементами x и y существует отношение P, то оно существует и между элементами y и x. Например, если P - отношение "быть соседним", то если x соседен с y, то y тоже соседен с x.

c) Свойство, что если xPy и yPz, то xPz, означает, что если элемент x связан отношением P с элементом y, а элемент y связан отношением P с элементом z, то элемент x также связан отношением P с элементом z. Например, если P - отношение "быть предшествующим", то если x предшествует y, а y предшествует z, то x предшествует также и z.

d) Свойство, что если xPy и x≠y, то yPx, означает, что если элемент x связан отношением P с элементом y, при этом x не равно y, то элемент y также связан отношением P с элементом x. Например, если P - отношение "быть братом", то если x - брат y, то y - брат x.

Итак, отношение P считается симметричным, если удовлетворяет всем четырем свойствам a), b), c) и d).

22. Если отношение P на множестве X обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то такое отношение называется: a) отношением порядка; b) отношением толерантности; c) отношением эквивалентности; d) отношением пересечения.

Ответ: c) отношение эквивалентности.

Обоснование:
- Рефлексивность означает, что каждый элемент множества X связан отношением P с самим собой. Например, если P - отношение "быть равным", то каждый элемент равен самому себе.
- Симметричность означает, что если между двумя элементами существует отношение P, то оно существует и в обратном направлении. Например, если P - отношение "быть соседним", то если x соседен с y, то y тоже соседен с x.
- Транзитивность означает, что если элемент x связан отношением P с элементом y, а элемент y связан отношением P с элементом z, то элемент x также связан отношением P с элементом z. Например, если P - отношение "быть предшествующим", то если x предшествует y, а y предшествует z, то x предшествует также и z.

Итак, отношение P с рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью называется отношением эквивалентности.

23. Если отношение P на множестве X обладает свойствами рефлексивности и симметричности, то такое отношение называется: a) отношением сравнения; b) отношением эквивалентности; c) отношением порядка; d) отношением пересечения.

Ответ: b) отношением эквивалентности.

Обоснование:
- Рефлексивность означает, что каждый элемент множества X связан отношением P с самим собой. Например, если P - отношение "быть равным", то каждый элемент равен самому себе.
- Симметричность означает, что если между двумя элементами существует отношение P, то оно существует и в обратном направлении. Например, если P - отношение "быть соседним", то если x соседен с y, то y тоже соседен с x.

Итак, отношение P с рефлексивностью и симметричностью называется отношением эквивалентности.