2 вариант. 1. Какова площадь полной поверхности цилиндра с осевым сечением площадью 81 см2, если его образующая

1. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади полной поверхности цилиндра, которая выглядит следующим образом:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]

Где \(S\) - площадь полной поверхности, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.

Нам известно, что площадь осевого сечения цилиндра равна 81 см². Так как цилиндр имеет осевое сечение в форме круга, то площадь осевого сечения равна площади основания цилиндра. Значит, площадь основания равна 81 см².

Также известно, что образующая и диаметр основания равны. Обозначим диаметр основания как \(d\), радиус как \(r\), и образующую как \(l\).

У нас есть два уравнения:

\[\pi r^2 = 81\]
\[l = d = 2r\]

Давайте найдем значение радиуса основания:

\[\pi r^2 = 81\]
\[r^2 = \frac{81}{\pi}\]
\[r = \sqrt{\frac{81}{\pi}}\]

Теперь мы можем использовать найденное значение радиуса в формуле для площади полной поверхности. Подставим значения в формулу:

\[S = 2\pi (\sqrt{\frac{81}{\pi}})^2 + 2\pi (\sqrt{\frac{81}{\pi}}) h\]

\[S = 2\pi \cdot \frac{81}{\pi} + 2\pi \cdot \sqrt{\frac{81}{\pi}} \cdot h\]

\[S = 162 + 2\pi \cdot \sqrt{\frac{81}{\pi}} \cdot h\]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна \(162 + 2\pi \cdot \sqrt{\frac{81}{\pi}} \cdot h\).

2. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси. Для прямоугольного треугольника формула имеет вид:

\[V = \pi \cdot (больший \ катет)^2 \cdot (малый \ катет - \frac{1}{3} \cdot больший \ катет)\]

Где \(V\) - объем тела, полученного вращением, и больший и малый катеты обозначены соответствующим образом.

Нам известно, что катет треугольника равен 6 см, а гипотенуза равна 10 см. Используем формулу для нахождения объема:

\[V = \pi \cdot (6)^2 \cdot (10 - \frac{1}{3} \cdot 6)\]
\[V = 36\pi \cdot (10 - 2)\]
\[V = 36\pi \cdot 8\]
\[V = 288\pi\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника, равен \(288\pi\).

3. В задаче дан усеченный конус, и нам необходимо найти радиусы его оснований. Для этого нам понадобятся высота конуса (\(h\)), угол наклона образующей к плоскости основания (\(\alpha\)), угол диагонали осевого сечения конуса (\(\beta\)).

По определению, усеченный конус - это конус, у которого вершина отсечена параллельным плоскостям, создавая осевое сечение. Плоскости секущих сечений образуют фигуры, похожие на многогранную призму.

Мы можем использовать свойства подобных треугольников для решения этой задачи. Обозначим радиус большего основания как \(R\), радиус меньшего основания как \(r\).

Мы имеем следующий набор соотношений:

\[\frac{R}{r} = \frac{h + z}{h}\]
\[\frac{R}{r} = \tan(\alpha)\]
\[\frac{R}{r} = \tan(\beta)\]

Где \(z\) - отсеченная часть конуса.

Мы также знаем, что диагональ осевого сечения составляет угол \(\beta\) с плоскостью основания и пересекает плоскость основания под углом \((\frac{\beta}{2})\). Таким образом, мы можем использовать эти информацию, чтобы выразить \(R\) и \(r\):

\[R = \frac{h + z}{\tan(\beta/2)}\]
\[r = \frac{h}{\tan(\beta/2)}\]

Теперь мы можем найти \(R\) и \(r\) из заданных данных. Обратите внимание, что ответ будет зависеть от выбранных значения для \(h\), \(\alpha\) и \(\beta\).

4. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади поверхности шара и формулу для его объема.

Объем шара можно выразить следующим образом:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Нам дано значение объема шара, поэтому мы можем выразить радиус шара \(r\) из этой формулы:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\]

Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

Подставим значение радиуса \(r\) в эту формулу:

\[S = 4\pi (\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})^2\]

\[S = 4\pi \cdot \frac{3V}{4\pi}\]

\[S = 3V\]

Таким образом, площадь поверхности шара равна \(3V\).