2. Треугольная пирамида имеет правильную форму. Известно, что длина ребра ав равна 6 см, а высота основания so равна

Задача 2:
Начнем с поиска площади основания треугольной пирамиды. У нас есть высота основания \(so = 8\) см и длина ребра \(ав = 6\) см. Основание треугольной пирамиды - равносторонний треугольник, поэтому каждая сторона основания равна.

Для расчета площади треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника по формуле Герона:
\[ s_{abc} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \],
где \( p \) - полупериметр треугольника, а \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

Так как у нас равносторонний треугольник, все стороны одинаковые и равны \( a = b = c = 6 \) см. Тогда полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+6+6}{2} = 9 \) см. Подставим значения в формулу:
\[ s_{abc} = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9\cdot3\cdot3\cdot3} = \sqrt{243} \approx 15.59 \text{ см}^2 \]

Теперь найдем площадь боковой поверхности. В связи с тем, что пирамида имеет правильную форму, высота боковой грани \( s_{h} \) будет равна высоте основания \( s_{o} \). Таким образом, \( s_{h} = s_{o} = 8 \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times s_{h} \]

Так как основание - равносторонний треугольник, периметр будет равен \( p_{\text{осн}} = a + b + c = 6 + 6 + 6 = 18 \) см. Подставим значения в формулу:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times 18 \times 8 = 72 \text{ см}^2 \]

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды. Она состоит из площади основания \( s_{abc} \) и площади боковой поверхности \( s_{b\text{п}} \).
\[ s_{\text{пп}} = s_{abc} + s_{b\text{п}} = 15.59 + 72 = 87.59 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площади треугольной пирамиды с заданными параметрами равны:
Площадь основания \( s_{abc} \approx 15.59 \text{ см}^2 \),
Площадь боковой поверхности \( s_{b\text{п}} = 72 \text{ см}^2 \),
Площадь полной поверхности \( s_{\text{пп}} = 87.59 \text{ см}^2 \).

Задача 3:
Похожим образом решим задачу с площадями треугольной пирамиды с известной длиной ребра \( ав = 8 \) см и углом наклона боковой грани к основанию \( 60^\circ \).

Сначала найдем площадь основания треугольной пирамиды. У нас нет информации о высоте основания, поэтому мы не можем найти площадь основания точно, но можем оценить ее. Поскольку основание - равносторонний треугольник, сторона основания будет равна \( a = 8 \). Тогда площадь основания можно оценить как площадь равностороннего треугольника:
\[ s_{abc} \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 \approx 13.86 \text{ см}^2 \]

Теперь найдем высоту боковых граней пирамиды. Угол наклона бокового ребра к основанию составляет \( 60^\circ \), что означает, что треугольник, образованный боковым ребром и половиной диагонали основания, является прямоугольным треугольником со сторонами \( a, \frac{a}{2}, h \), где \( h \) - высота боковой грани. Используя тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника, где \( \sin(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \), найдем высоту боковой грани:
\[ h = \frac{\sin(60^\circ) \cdot \frac{a}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Таким образом, высота боковых граней пирамиды \( s_{h} = s_{o} = 4\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times s_{h} \]

Так как основание - равносторонний треугольник, периметр будет равен \( p_{\text{осн}} = a + a + a = 3a = 3 \cdot 8 = 24 \) см. Подставим значения в формулу:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times 24 \times 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площади треугольной пирамиды с заданными параметрами равны:
Площадь основания \( s_{abc} \approx 13.86 \text{ см}^2 \),
Площадь боковой поверхности \( s_{b\text{п}} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \),
Площадь полной поверхности \( s_{\text{пп}} \) можно найти как сумму площади основания и площади боковой поверхности.

Задача 4:
Похожим образом решим задачу с площадями треугольной пирамиды с известной длиной ребра \( ав = 8 \) см и углом наклона боковой грани к основанию \( 30^\circ \).

Сначала найдем площадь основания треугольной пирамиды. У нас нет информации о высоте основания, поэтому мы не можем найти площадь основания точно, но можем оценить ее. Поскольку основание - равносторонний треугольник, сторона основания будет равна \( a = 8 \). Тогда площадь основания можно оценить как площадь равностороннего треугольника:
\[ s_{abc} \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 \approx 13.86 \text{ см}^2 \]

Теперь найдем высоту боковых граней пирамиды. Угол наклона бокового ребра к основанию составляет \( 30^\circ \), что означает, что треугольник, образованный боковым ребром и половиной диагонали основания, является прямоугольным треугольником со сторонами \( a, \frac{a}{2}, h \), где \( h \) - высота боковой грани. Используя тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника, где \( \sin(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \), найдем высоту боковой грани:
\[ h = \frac{\sin(30^\circ) \cdot \frac{a}{2}}{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 = 2 \text{ см} \]

Таким образом, высота боковых граней пирамиды \( s_{h} = s_{o} = 2 \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times s_{h} \]

Так как основание - равносторонний треугольник, периметр будет равен \( p_{\text{осн}} = a + a + a = 3a = 3 \cdot 8 = 24 \) см. Подставим значения в формулу:
\[ s_{b\text{п}} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площади треугольной пирамиды с заданными параметрами равны:
Площадь основания \( s_{abc} \approx 13.86 \text{ см}^2 \),
Площадь боковой поверхности \( s_{b\text{п}} = 24 \text{ см}^2 \),
Площадь полной поверхности \( s_{\text{пп}} \) можно найти как сумму площади основания и площади боковой поверхности.