2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку A(2, -1) и B(4, 3), а также прямой, параллельной оси ординат

2. Чтобы составить уравнение окружности, проходящей через точку A(2, -1) и B(4, 3), мы сначала найдем координаты центра окружности. Для этого нам понадобится середина отрезка AB.

Середина отрезка AB находится посредством нахождения среднего значения координат точек A и B. Поэтому:

Координата x центра окружности: \(\frac{{2 + 4}}{2} = 3\)

Координата y центра окружности: \(\frac{{-1 + 3}}{2} = 1\)

Таким образом, координаты центра окружности равны (3, 1).

Затем мы можем использовать формулу уравнения окружности: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Заметим, что прямая, параллельная оси ординат, будет иметь уравнение вида x = c, где c - координата x центра окружности.

Теперь найдем радиус окружности. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\[r = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

\[r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(2\sqrt{5}\).

Подставляя все значения в уравнение окружности, получим окончательный ответ:

\((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (2\sqrt{5})^2\)

\((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 20\)

3. а) Чтобы нарисовать графики прямых с уравнениями \(x - 2y + 3 = 0\) и \(x - 2 = 0\) на одной координатной плоскости, важно знать, что уравнение\(x - 2y + 3 = 0\) представляет собой обычное уравнение прямой, а уравнение \(x - 2 = 0\) означает, что у нас есть вертикальная прямая, которая проходит через точку (2, 0).

Теперь нарисуем графики обоих прямых:

\[
\begin{align*}
x - 2y + 3 &= 0 \\
x - 2y &= -3 \\
-2y &= -x - 3 \\
y &= \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}
\end{align*}
\]

Уравнение \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) представляет собой наклонную прямую. Сделаем таблицу значений и нарисуем график:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-4 & -1 \\
\hline
-2 & 1 \\
\hline
0 & \frac{3}{2} \\
\hline
2 & 2 \\
\hline
4 & \frac{7}{2} \\
\hline
\end{array}
\]

График:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
xmin=-5,
xmax=5,
ymin=-5,
ymax=5,
xtick={-4,-2,0,2,4},
ytick={-4,-2,0,2,4},
ticks=none,
width=10cm,
height=10cm,
grid=both,
grid style={line width=0.1pt, draw=gray!50},
major grid style={line width=0.2pt,draw=gray!80},
minor tick num=5,
enlargelimits={abs=0.5},
]
\addplot[domain=-5:5,blue] {1/2*x + 3/2};
\addplot[domain=-4:4,red] {0};

\draw [fill=black] (2,0) circle (2pt);

\node[label={45:{$A(2, 0)$}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:2,0) {};

\node[label={180:{$y$}},circle,fill,inner sep=0pt] at (axis cs:-0.2,5) {};
\node[label={0:{$x$}},circle,fill,inner sep=0pt] at (axis cs:5,-0.2) {};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

б) Чтобы найти координаты точки пересечения этих двух прямых, мы должны решить систему уравнений:

\[
\begin{align*}
y &= \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\
y &= 0
\end{align*}
\]

Подставляем \(y = 0\) в первое уравнение:

\[0 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\]

Теперь решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} &= 0 \\
\frac{1}{2}x &= -\frac{3}{2} \\
x &= -3
\end{align*}
\]

Теперь найдем значение \(y\) при \(x = -3\) (подставляем в уравнение \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\)):

\[
\begin{align*}
y &= \frac{1}{2}(-3) + \frac{3}{2} \\
y &= -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} \\
y &= 0
\end{align*}
\]

Таким образом, координаты точки пересечения этих двух прямых равны (-3, 0).

в) Чтобы найти площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат, нам нужно найти высоту треугольника и его основание.

Высота треугольника - это расстояние между прямой \(x - 2y + 3 = 0\) и осью ординат. Чтобы найти высоту, мы можем взять абсолютное значение коэффициента при \(y\) в уравнении прямой.

В данном случае это \(2\), поскольку уравнение имеет вид \(x - 2y + 3 = 0\).

Теперь найдем основание треугольника - это расстояние между точками пересечения прямой \(x - 2y + 3 = 0\) и \(x - 2 = 0\). Мы уже вычислили, что точка пересечения этих прямых имеет координаты (-3, 0).

Основание равно расстоянию между точками (-3, 0) и (0, 0), то есть \(3\). Обратите внимание, что мы берем абсолютное значение, так как основание может быть отрицательным, но длина не может быть отрицательной.

Теперь мы можем найти площадь треугольника по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат, равна \(3\).