2. Пружинный груз массой 0,1 кг подвергается воздействию силы с амплитудой 0,4 н. При этом коэффициент силы

Хорошо, давайте разберем задачу по порядку. Для начала, определим частоту колебаний системы в резонансе.

Частота колебаний системы в резонансе определяется по формуле:

\[f_р = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

где \(f_р\) - частота колебаний в резонансе, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(m\) - масса груза.

Подставляем известные значения:

\(k = 4 \, \text{Н/м}\)

\(m = 0.1 \, \text{кг}\)

Вычисляем частоту колебаний в резонансе:

\[f_р = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4}{0.1}}\]

\[f_р = \frac{1}{2\pi}\sqrt{40}\]

\[f_р \approx 1.59 \, \text{Гц}\]

Теперь определим амплитуду колебаний при резонансе. Амплитуда колебаний в резонансе определяется по формуле:

\[A_р = \frac{F_0}{k}\]

где \(A_р\) - амплитуда колебаний при резонансе, \(F_0\) - амплитуда внешней силы, \(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Подставляем известное значение амплитуды внешней силы:

\(F_0 = 0.4 \, \text{Н}\)

Вычисляем амплитуду колебаний при резонансе:

\[A_р = \frac{0.4}{4}\]

\[A_р = 0.1 \, \text{м}\]

Теперь перейдем к записи дифференциального уравнения колебаний груза. Дифференциальное уравнение колебаний груза без учета силы сопротивления среды записывается следующим образом:

\[m\ddot{x} + kx = 0\]

где \(m\) - масса груза, \(\ddot{x}\) - вторая производная координаты \(x\) по времени, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение груза от положения равновесия.

Теперь учтем силу сопротивления среды. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости груза и противо\-положно направлена движению. Тогда уравнение с учетом силы сопротивления будет иметь следующий вид:

\[m\ddot{x} + F_с = 0\]

где \(F_с\) - сила сопротивления среды.

Для определения силы сопротивления среды, используем коэффициент силы сопротивления и скорость груза. Скорость груза равна первой производной координаты \(x\) по времени, \(v = \dot{x}\). Тогда сила сопротивления среды будет выражаться следующим образом:

\[F_с = -c\dot{x}\]

где \(c\) - коэффициент силы сопротивления среды.

Теперь подставим полученные выражения в уравнение:

\[m\ddot{x} - c\dot{x} + kx = 0\]

Это дифференциальное уравнение колебаний груза с учетом силы сопротивления среды.

При решении данного уравнения в установившемся режиме предполагается, что ускорение груза и скорость груза не зависят от времени. Это значит, что производные \(\ddot{x}\) и \(\dot{x}\) равны нулю. Подставляем эти значения в уравнение:

\[m \cdot 0 - c \cdot 0 + kx = 0\]

\[kx = 0\]

Это уравнение описывает положение равновесия груза в установившемся режиме. Таким образом, в установившемся режиме груз находится в положении равновесия, без смещения относительно положения равновесия.

Вот и все решение задачи. Если возникнут еще вопросы, буду рад помочь!