19 задача ЕГЭ по математике профиль. На доске записаны 3 разных натуральных числа, где каждое последующее число

Пожалуйста, приступим к решению задачи.

а) Нам дано, что каждое последующее число на доске является суммой цифр предыдущего числа. Пусть первое число будет равно \(a\), второе число будет равно \(b\), а третье число будет равно \(c\). Тогда мы имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
b &= a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \\
c &= b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n \\
\end{align*}
\]

где \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\) - цифры числа \(a\), а \(b_1, b_2, b_3, ..., b_n\) - цифры числа \(b\).

Мы хотим узнать, может ли сумма всех чисел на доске быть равной 2020. Для этого нужно найти значения \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют этому условию.

Начнем с \(a = 1\). Тогда \(b = 1 + 0 = 1\) и \(c = 1 + 1 = 2\). Сумма всех чисел на доске равна \(1 + 1 + 2 = 4\), что не равно 2020. Продолжим увеличивать значения \(a\), пока не найдем сумму чисел на доске, равную 2020.

При \(a = 199\) получим \(b = 1 + 9 + 9 = 19\) и \(c = 1 + 9 = 10\). Сумма всех чисел на доске будет равна \(199 + 19 + 10 = 228\), что не равно 2020.

Из этого примера мы можем сделать вывод, что сумма всех чисел на доске не может быть равна 2020.

б) Аналогично предыдущему пункту, мы будем искать значения \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют условию суммы всех чисел на доске равной 2021.

Продолжим увеличивать значения \(a\) до тех пор, пока не найдем сумму чисел на доске, равную 2021.

При \(a = 1\) получим \(b = 1 + 0 = 1\) и \(c = 1 + 1 = 2\). Сумма всех чисел на доске будет равна \(1 + 1 + 2 = 4\), что не равно 2021.

Из этого примера можно сделать вывод, что сумма всех чисел на доске не может быть равна 2021.

в) Нам нужно найти количество наборов, где первое число трехзначное, а третье число равно \(c\).

Поскольку каждое последующее число на доске - это сумма цифр предыдущего числа, то нам нужно найти количество трехзначных чисел \(a\), которые могут быть представлены в виде суммы цифр.

Если первое число трехзначное, то оно не может быть равно 1 или 2, поскольку сумма цифр трехзначного числа не может быть равна 1 или 2.

Теперь давайте рассмотрим трехзначные числа, начиная с 100. Мы заметим, что сумма цифр всех трехзначных чисел, начиная с 100 и заканчивая 189, равна 10 (1 + 0 + 0), 11 (1 + 0 + 1), ..., 18 (1 + 8 + 9).

Таким образом, количество наборов, где первое число трехзначное, а третье число равно \(c\), будет равно 18.

В итоге, мы ответили на все вопросы по заданию. Надеюсь, это решение понятно. Если у вас еще есть вопросы, не стесняйтесь задавать.