14.21. Докажите, что сумма a, b и c равна 1, при условии, что a, b и c - целые числа. Покажите, что (a + bc)(b + ac)(c

Чтобы доказать, что сумма a, b и c равна 1, при условии, что a, b и c - целые числа, нам нужно воспользоваться алгебраическими преобразованиями.

Для начала, давайте заметим, что (a + bc)(b + ac)(c + ab) представляет собой произведение трех множителей. Мы хотим показать, что это произведение является квадратом целого числа.

Произведение трех множителей может быть представлено в виде куба некоторого числа, поскольку мы хотим показать, что оно является квадратом целого числа. Для этого мы можем предположить, что (a + bc)(b + ac)(c + ab) = (k)^2, где k - целое число.

Теперь давайте разложим каждый из трех множителей на слагаемые:

(a + bc) = a + bc
(b + ac) = b + ac
(c + ab) = c + ab

Теперь мы можем перемножить эти выражения:

(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (a + bc)(b + ac)(c + ab)

Раскроем скобки:

= (a + bc)(b + ac)(c + ab)
= (ab + a^2c + bc^2 + abc)(c + ab)
= (abc + a^2c + ab^2c + a^3c^2 + abc^2 + ab^2c^2 + b^2c^2 + a^2b^2c)

Теперь давайте перепишем это выражение в виде суммы:

= a^3c^2 + ab^2c^2 + a^2b^2c + a^2c + ab^2c + abc^2 + bc^2 + abc
= a^3c^2 + ab^2c^2 + a^2b^2c + a^2c + ab^2c + abc^2 + bc^2 + abc

Заметим, что a^3c^2, ab^2c^2, a^2b^2c и bc^2 являются квадратами целых чисел. Другие члены выражения также являются целыми числами.

Теперь давайте разложим сумму на сумму двух квадратов:

= (a^2c + ab^2 + ac + bc)^2

Мы видим, что (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа, так как мы получили выражение вида (x + y)^2, где x и y - целые числа.

Таким образом, мы доказали, что (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа при условии, что сумма a, b и c равна 1, и a, b и c - целые числа.